高一數(shù)學(xué)別怕，集合這關(guān)這樣過

高一剛開學(xué)，數(shù)學(xué)課一上來就是集合，很多同學(xué)心里打鼓：這不就是畫圈圈嗎？有什么難的？可一做題，交集并集一混，題目一變，立馬懵圈。別急，咱們不講定義，不說術(shù)語(yǔ)，就用生活里的事，把集合這關(guān)啃下來。

你家客廳有個(gè)收納箱，放的是你的課本和文具。你媽的收納箱里，是她的保健品和老花鏡。兩個(gè)箱子，一個(gè)屬于你，一個(gè)屬于她。現(xiàn)在，你倆想找個(gè)共同的東西——比如遙控器。遙控器在哪兒？它不在你箱子里，也不在她箱子里，它在茶幾上。

但要是有一天，你發(fā)現(xiàn)你媽的箱子里，也放著一個(gè)遙控器，那這個(gè)遙控器，就是你倆“交集”的東西。

數(shù)學(xué)里的交集，A∩B，說白了，就是“既有A，又有B”的東西。A是你書包里的東西，B是教室講臺(tái)上的東西。A∩B，就是你書包里也有、講臺(tái)上也有的物品。可能是一支筆，可能是一張草稿紙。只要它同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)地方，它就在交集里。

別被符號(hào)嚇住。A∩B={x|x∈A，且x∈B}，這句話翻譯過來就是：“所有滿足‘在A里，并且也在B里’的元素x”。聽著繞？那就記成：交集，就是“雙份”的東西。你有，我也要有，才算數(shù)。

再來看并集。A∪B，就是“你有，或者我有”的全部。你書包里有數(shù)學(xué)書，她書包里有英語(yǔ)書，那并集就是這兩本書都在內(nèi)。哪怕你倆的書包里各有一本語(yǔ)文書，那這本語(yǔ)文書，也只算一次。并集不管重復(fù)，只管“出現(xiàn)過”。

你有沒有發(fā)現(xiàn)？交集是“找共同點(diǎn)”，并集是“全都要”。一個(gè)收窄，一個(gè)擴(kuò)大。交集越小，越精準(zhǔn)；并集越大，越全面。

這些概念，考試不會(huì)直接問你“什么是交集”。它會(huì)給你兩個(gè)集合，比如：

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

然后問：A∩B = ?

A∪B = ?

你不用背公式，直接動(dòng)手列。A里的數(shù)：1、2、3、4；B里的數(shù)：3、4、5、6。哪個(gè)數(shù)兩個(gè)地方都有？3和4。所以A∩B = {3, 4}。哪個(gè)數(shù)只要出現(xiàn)過就算？1、2、3、4、5、6。所以A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

別怕空集。φ就是空的盒子。A∩φ，就是你書包和一個(gè)空盒子的共同物品。你再翻，再找，還是什么都沒有。所以A∩φ = φ。空集和誰(shuí)交，都是空。

A∪φ呢？你書包里有書，空盒子啥也沒有。你把空盒子倒過來抖一抖，能抖出什么？啥也沒有。那A∪φ，還是A本身。空集像空氣，你感覺不到它，但它不影響你原有的東西。

這些性質(zhì)，A∩A=A，A∪A=A，其實(shí)說的都是一個(gè)道理：你和自己比，交集就是你自己，合并也是你自己。別覺得這是廢話，考試?yán)锍Ｓ腥税袮∩A寫成空集，或者把A∪A當(dāng)成兩個(gè)A相加。記住，集合不是數(shù)字，它不加不減，只看有沒有。

再舉個(gè)實(shí)際例子。班里有20個(gè)同學(xué)喜歡打籃球，15個(gè)同學(xué)喜歡聽歌，有8個(gè)人既打籃球又聽歌。那喜歡籃球或聽歌的，一共有多少人？

很多人會(huì)直接20+15=35，錯(cuò)了。因?yàn)槟?個(gè)人被算了兩次。真正的人數(shù)是：20 + 15 - 8 = 27。為什么減8？因?yàn)槟?個(gè)人在交集里，被并集重復(fù)計(jì)算了。這就是集合在現(xiàn)實(shí)里的用法。

你家小區(qū)有30戶養(yǎng)貓，25戶養(yǎng)狗，有12戶既養(yǎng)貓又養(yǎng)狗。那至少養(yǎng)一種寵物的，有多少戶？30+25-12=43。你要是沒減，就多算了12戶，這叫“重復(fù)計(jì)數(shù)”。集合運(yùn)算，本質(zhì)上就是避免重復(fù)，理清歸屬。

別指望靠背定義拿分。你背得再熟，題目一變，比如給出區(qū)間：A={x|1

在紙上畫一條橫線，標(biāo)出1、3、5、7。A是1到5之間，不包含端點(diǎn)，畫成空心圈。B是3到7之間，也是空心圈。A∩B，就是兩個(gè)區(qū)間重疊的部分：3到5。A∪B，就是從1到7，中間連起來。答案一目了然。

很多同學(xué)卡在“或”和“且”的區(qū)別上。中文里，“或”有時(shí)候是“要么A要么B”，但在數(shù)學(xué)里，“A或B”包含“兩個(gè)都有”。這是關(guān)鍵。你媽說：“你今天要么寫作業(yè)，要么練琴。”你要是都干了，她也不會(huì)罵你。數(shù)學(xué)里的“或”，就是這個(gè)意思。

考試?yán)锍？嫉南葳澹�是集合的元素是不是�?shù)字。有的題給的是點(diǎn)集，比如A={(1,2),(3,4)}，B={(3,4),(5,6)}。交集是{(3,4)}，因?yàn)橹挥羞@個(gè)點(diǎn)對(duì)同時(shí)出現(xiàn)。別看成數(shù)字3和4，那是坐標(biāo)。

還有，集合里元素不講順序。{1,2,3}和{3,2,1}是同一個(gè)集合。別因?yàn)轫樞虿灰粯泳鸵詾椴煌�。集合是“一堆東西”，不是排隊(duì)。

別把集合當(dāng)成獨(dú)立的一章。它是后面函數(shù)、不等式、概率的基礎(chǔ)。你連A∩B都搞不清，后面求函數(shù)定義域交集，解不等式組，概率中的“且”和“或”，全都會(huì)踩坑。

每天花10分鐘，自己出兩道題。比如：

A={a,b,c}，B={b,c,d}，求A∩B，A∪B。

A={x|x是偶數(shù)，x<10}，B={x|x是3的倍數(shù)，x<15}，求A∩B。

做完，別對(duì)答案，自己再想一遍：哪些是“雙份”的？哪些是“全都要”的？

別怕慢。集合是數(shù)學(xué)的母語(yǔ)。你先學(xué)會(huì)說，再學(xué)寫。等你能在腦子里畫出兩個(gè)圈，圈里有東西，交疊的地方有重合，你就贏了。

高一數(shù)學(xué)，不是難在公式，難在概念不清。集合這關(guān)過了，后面函數(shù)、數(shù)列、向量，你才不會(huì)被術(shù)語(yǔ)絆倒。別指望一學(xué)就會(huì)，但只要每天搞懂一個(gè)“交”和一個(gè)“并”，一個(gè)月后，你會(huì)感謝現(xiàn)在沒放棄的自己。