掌握因式分解的“鑰匙”：從平方差公式開始，輕松攻克初中數學難題

【來源：易教網 更新時間：2025-10-16】

在初中數學的學習中，很多同學對“因式分解”這個詞感到頭疼。它聽起來抽象、復雜，好像和我們平時做題的思路完全不一樣。但其實，只要掌握了一兩個關鍵方法，你會發現，因式分解并不是一道難以逾越的坎，反而像一把打開數學大門的鑰匙。

今天，我們就來聊一聊這個讓不少學生“望而生畏”的知識點——用平方差公式進行因式分解。它不只是一種解題技巧，更是一種思維方式的訓練。只要你愿意花一點時間去理解它的本質，就能在考試中游刃有余，甚至還能感受到數學帶來的那種“原來如此”的驚喜。

一、從熟悉的乘法出發，發現隱藏的規律

我們先來回顧一個大家非常熟悉的內容：

計算 \( (a+5)(a-5) \)，你會怎么算？

很簡單，直接相乘：

\[ (a+5)(a-5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25 \]

再來看另一個例子：

\[ (4m + 3n)(4m - 3n) = (4m)^2 - (3n)^2 = 16m^2 - 9n^2 \]

你有沒有注意到什么共同點？左邊是兩個“和”與“差”的乘積，右邊卻變成了一個平方減另一個平方的形式。

這其實正是我們今天要講的核心公式——平方差公式：

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

這個公式看起來簡單，但它背后藏著一種非常重要的思維模式：把“減法”變成“乘法”。也就是說，原本我們看到的是兩個數的平方相減，現在我們可以把它拆成兩個括號的乘積。

這就像你手里有一張紙，正面寫著“\( a^2 - b^2 \)”，背面寫著“\( (a+b)(a-b) \)”。它們其實是同一個東西的兩種表達方式。學會看懂這種“互換關系”，你就掌握了因式分解的一條重要路徑。

二、為什么我們要學這個？它真的有用嗎？

可能有人會問：“我以后又不用這個去算菜價，干嘛非得學會因式分解？”

其實，這個問題的答案就在日常學習里。

比如你在做代數題時，經常遇到這樣的式子：

\[ x^2 - 9y^2 \]

如果你不知道平方差公式，可能會卡住，覺得無從下手。但一旦你知道它可以寫成：

\[ (x + 3y)(x - 3y) \]

那問題就迎刃而解了。

更進一步，在解方程、化簡分式、求函數零點等場景中，因式分解都是必不可少的工具。特別是在中考壓軸題中，常常需要通過因式分解找到關鍵突破口。

所以，這不是為了“應付考試”才學，而是為了真正理解代數的本質。

三、實戰演練：5道典型例題帶你上手

下面我們來看幾個典型的題目，一步步拆解它們的解法，讓你真正“看得懂、學得會”。

題目1：\( x^2 - 9y^2 \)

觀察這個式子，是不是很像 \( a^2 - b^2 \) 的形式？

- \( x^2 \) 就是第一個平方項，

- \( 9y^2 = (3y)^2 \)，所以第二個平方項是 \( (3y)^2 \)。

于是我們可以直接套公式：

\[ x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y) \]

這就是答案。簡單吧？

題目2：\( 16x^4 - y^4 \)

這個稍微復雜一點，但依然可以看作平方差。

注意：\( 16x^4 = (4x^2)^2 \)，而 \( y^4 = (y^2)^2 \)。

所以：

\[ 16x^4 - y^4 = (4x^2)^2 - (y^2)^2 = (4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2) \]

到這里還沒完！因為 \( 4x^2 - y^2 \) 本身也符合平方差公式：

\[ 4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x + y)(2x - y) \]

所以最終結果是：

\[ (4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y) \]

這里的關鍵在于：不要急于結束。每一步都要檢查是否還能繼續分解，直到徹底為止。

題目3：\( 12a^2x^2 - 27b^2y^2 \)

這道題有點“藏”得深。一眼看過去，好像不符合平方差的樣子。

但我們先看系數：12 和 27，有沒有公因數？有，是3。

先把3提出來：

\[ 12a^2x^2 - 27b^2y^2 = 3(4a^2x^2 - 9b^2y^2) \]

接下來，看看括號里的部分：

- \( 4a^2x^2 = (2ax)^2 \)

- \( 9b^2y^2 = (3by)^2 \)

所以：

\[ 4a^2x^2 - 9b^2y^2 = (2ax + 3by)(2ax - 3by) \]

因此原式變為：

\[ 3(2ax + 3by)(2ax - 3by) \]

這說明：遇到復雜的式子，先看有沒有公因數可提取，然后再考慮平方差。

題目4：\( (x + 2y)^2 - (x - 3y)^2 \)

這次不是簡單的字母平方，而是整個括號的平方。但這并不影響我們使用平方差公式。

記住：平方差公式中的 \( a \) 和 \( b \) 可以是任何代數式，不只是單個字母。

設：

- \( A = x + 2y \)

- \( B = x - 3y \)

那么原式就是：

\[ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \]

計算 \( A + B \) 和 \( A - B \)：

- \( A + B = (x + 2y) + (x - 3y) = 2x - y \)

- \( A - B = (x + 2y) - (x - 3y) = 5y \)

所以結果是：

\[ (2x - y)(5y) = 5y(2x - y) \]

這個例子告訴我們：不要被外表迷惑。即使里面是復雜的括號，只要結構對了，照樣能用公式。

題目5：\( m^2(16x - y) + n^2(y - 16x) \)

這道題最“狡猾”，因為它看起來不像平方差。

先看兩項：

- 第一項：\( m^2(16x - y) \)

- 第二項：\( n^2(y - 16x) \)

你發現了什么？\( y - 16x \) 和 \( 16x - y \) 是相反數！

也就是說：

\[ y - 16x = -(16x - y) \]

所以第二項可以改寫為：

\[ n^2(y - 16x) = -n^2(16x - y) \]

于是原式變成：

\[ m^2(16x - y) - n^2(16x - y) \]

現在，兩個項都有 \( (16x - y) \)，可以提取公因式：

\[ (16x - y)(m^2 - n^2) \]

而 \( m^2 - n^2 \) 正好又是平方差：

\[ m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) \]

所以最終答案是：

\[ (16x - y)(m + n)(m - n) \]

這道題教會我們：有時候真正的突破口，藏在“變形”之中。要學會識別“看似不同實則相關”的結構。

四、如何避免常見錯誤？幾點提醒

在實際練習中，很多同學容易犯以下幾種錯誤：

1. 忽略公因數

比如看到 \( 12a^2x^2 - 27b^2y^2 \)，直接想用平方差，結果漏掉了前面的3。一定要養成“先看是否有公因數”的習慣。

2. 分解不徹底

像 \( 16x^4 - y^4 \)，分解到 \( (4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2) \) 就停了，但后面還可以繼續分解。記得每一步都問問自己：“還能不能再拆？”

3. 混淆符號

特別是在處理像 \( y - 16x \) 這樣的反向表達式時，容易搞錯正負號。建議多寫幾步，確保邏輯清晰。

4. 忘記驗證

分解完后，不妨把結果展開，看看是否等于原來的式子。這是檢驗正確性的最好辦法。

五、思維升級：從“會做”到“會想”

學習數學，不只是為了得出正確答案，更是為了培養一種思維方式。

當你看到一個復雜的式子，能第一時間想到：“它能不能變成平方差？”、“有沒有公因數？”、“要不要先變形？”——這就意味著你已經進入了主動思考的狀態。

這種能力，不僅適用于因式分解，也會貫穿整個中學階段的代數學習。

舉個例子，當你將來學習一元二次方程時，解法之一就是因式分解。如果現在打好了基礎，未來面對 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 這類題目時，你會立刻想到：

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

而不是一頭霧水地去背公式。

六、給家長的小建議：怎么幫孩子學好這一塊？

如果你是家長，看到孩子在因式分解上卡殼，不要急著替他做題，也不要批評“這么簡單都不會”。

你可以這樣引導：

- 一起回顧平方差公式的推導過程；

- 讓孩子試著把已知的乘法算式反過來寫成因式分解；

- 鼓勵他多動手，哪怕錯了也沒關系，關鍵是“試一試”；

- 在日常生活中找些類似的情境，比如兩組數字的平方差，讓孩子感受數學的普遍性。

記住：興趣是最好的老師。當孩子發現“原來我也能解開這些‘怪題’”，他的信心就會慢慢建立起來。

每一個“難點”，都是通往“通透”的臺階

因式分解不是魔法，也不是天才專屬。它是無數個普通學生在反復練習中積累出來的經驗，是數學世界里一條清晰而有力的線索。

只要你愿意停下來，認真看一看那些看似枯燥的公式，試著去理解它們背后的邏輯，你會發現：原來數學也可以這么有趣。

下一次當你看到 \( a^2 - b^2 \)，不再只是“又要用了”，而是輕輕一笑：“哦，又是老朋友了。”

那一刻，你就真正掌握了它。

加油吧，每一個正在努力學習的你。