經典蠟燭燃燒題 會or不會

【來源：易教網 更新時間：2025-05-28】

數學應用題解析：蠟燭燃燒問題與解題策略

問題陳述

題目：

兩支成分不同的蠟燭，其中一支以均勻速度燃燒，2小時燒完；另一支可燃燒3小時。若傍晚6時半同時點燃兩支蠟燭，問到何時一支剩余部分正好是另一支剩余的2倍？

解題思路與步驟解析

1. 確定變量與已知條件

- 蠟燭A：燃燒2小時耗盡，因此每小時燃燒比例為 1/2。

- 蠟燭B：燃燒3小時耗盡，因此每小時燃燒比例為 1/3。

- 時間變量：設從點燃到滿足條件的時間為 x小時。

2. 建立方程

關鍵分析：

題目要求“一支剩余是另一支的2倍”，需分兩種情況討論：

- 情況一：B剩余是A的2倍。

- 情況二：A剩余是B的2倍。

方程推導：

- 蠟燭A剩余量：初始長度為1（假設總長度為1單位），燃燒x小時后剩余為：

\[ 1 - \frac{x}{2} \]

- 蠟燭B剩余量：同理，剩余為：

\[ 1 - \frac{x}{3} \]

情況一：B剩余是A的2倍：

\[1 - \frac{x}{3} = 2 \left(1 - \frac{x}{2}\right)\]

解方程：

\[1 - \frac{x}{3} = 2 - x \implies \frac{2x}{3} = 1 \implies x = 1.5 \text{小時（即90分鐘）}\]

情況二：A剩余是B的2倍：

\[1 - \frac{x}{2} = 2 \left(1 - \frac{x}{3}\right)\]

解方程：

\[1 - \frac{x}{2} = 2 - \frac{2x}{3} \implies \frac{x}{6} = 1 \implies x = 6 \text{小時}\]

但需驗證可行性：

- 蠟燭A燃燒6小時后早已燃盡（僅能燃燒2小時），因此此解不符合實際。

僅 x=1.5小時（即1小時30分鐘）是合理解。

3. 驗證答案

- 時間計算：從6:30開始，經過1.5小時后為 8:00。

- 剩余量計算：

- 蠟燭A剩余：\(1 - \frac{1.5}{2} = 0.25\)（即1/4）。

- 蠟燭B剩余：\(1 - \frac{1.5}{3} = 0.5\)（即1/2）。

- 驗證：\(0.5 = 2 \times 0.25\)，符合題意。

擴展應用與解題技巧

1. 類似問題拓展

例題1：

兩支蠟燭，A燃燒1.5小時耗盡，B燃燒4小時耗盡。同時點燃后，何時A剩余是B的3倍？

解法：

- 設時間為x小時，方程為：

\[ 1 - \frac{x}{1.5} = 3\left(1 - \frac{x}{4}\right) \]

解得 \(x = 0.6\) 小時（36分鐘），驗證后合理。

例題2：

若蠟燭A燃燒速度變為原來的2倍（即1小時耗盡），B仍3小時耗盡，求何時剩余量相等？

解法：

- 方程：

\[ 1 - x = 1 - \frac{x}{3} \implies x = \frac{3}{2} \text{小時} \]

2. 解題通用策略

1. 明確變量與速率：將燃燒速度轉化為每小時消耗的比例。

2. 分情況討論：題目中“倍數關系”可能涉及兩種情況，需逐一驗證。

3. 物理意義驗證：解出的時間必須滿足兩支蠟燭未燃盡的條件。

4. 方程化簡技巧：將方程轉化為整數系數，避免分數運算復雜化。

相關知識點補充

1. 線性方程應用

燃燒問題本質是線性速率問題，公式為：

\[\text{剩余量} = \text{初始量} - \text{速率} \times \text{時間}\]

此模型可推廣至水箱排水、車輛行駛等場景。

2. 比例與代數思維

通過設定比例（如將蠟燭長度視為1單位），簡化計算并突出變量關系，是解決應用題的關鍵技巧。

3. 時間與速率的關聯

速率 = 總量 / 時間，因此燃燒速率可表示為 1/總時間（如蠟燭A的速率是1/2）。

練習題

1. 兩支蠟燭分別燃燒4小時和5小時耗盡，同時點燃后，何時B剩余是A的1.5倍？

2. 若蠟燭A燃燒速度是B的2倍，且同時點燃后2小時，兩支剩余量相等，求各自燃燒時間。