如何用“和一定，差小積大“解決面積最值問題？小學(xué)生也能輕松掌握的數(shù)學(xué)思維！

一、從生活場景理解數(shù)學(xué)原理

你是否遇到過這樣的問題：用固定長度的圍欄圍出最大面積的場地？或者用有限的材料設(shè)計最優(yōu)的容器？這些問題看似復(fù)雜，但只需掌握一個簡單原理——“和一定，差小積大”，就能輕松解決。

這句話的意思是：當(dāng)兩個數(shù)的和固定時，它們的差距越小，乘積越大；差距越大，乘積越小。比如：

- 3 + 7 = 10，乘積是21；

- 5 + 5 = 10，乘積是25。

顯然，相等時的乘積更大。這一原理在幾何、代數(shù)甚至經(jīng)濟學(xué)中都有廣泛應(yīng)用。下面通過具體例題，手把手教你如何靈活運用！

二、基礎(chǔ)應(yīng)用：無約束條件的面積問題

例題1：用60米長的鐵板圍成一個長方形雞窩，面積最大是多少？

分析：

- 周長固定為60米，因此長+寬=30米（即a + b = 30）。

- 根據(jù)“差小積大”，當(dāng)a = b = 15米時，面積最大：15 × 15 = 225平方米。

關(guān)鍵點：當(dāng)問題僅涉及周長與面積時，最優(yōu)解一定是正方形！

三、進(jìn)階場景：借助墻體或特殊結(jié)構(gòu)

1. 借助一個墻角（兩面墻）

例題2：用60米鐵板圍成長方形雞窩，借助一個墻角，最大面積是多少？

分析：

- 墻角天然提供兩條邊，因此只需圍另外兩邊（即a + b = 60）。

- 當(dāng)a = b = 30米時，面積最大：30 × 30 = 900平方米。

思考：為什么面積比例題1大？因為節(jié)省了兩條邊的材料！

2. 借助一面墻

例題3：用60米鐵板圍成長方形雞窩，借助一面墻，最大面積是多少？

分析：

- 墻面替代一條長邊，因此周長為“長 + 2×寬 = 60”（即a + 2b = 60）。

- 將問題轉(zhuǎn)化為“a與2b的和固定”，當(dāng)a = 2b = 30米時，乘積最大：

- a = 30米，b = 15米，面積= 30 × 15 = 450平方米。

易錯點：學(xué)生常直接套用“a + b = 30”，忽略墻面帶來的結(jié)構(gòu)變化！

四、復(fù)雜結(jié)構(gòu)：多區(qū)域并列問題

1. 兩個并列雞窩

例題4：用60米鐵板圍成兩個并列雞窩，借助一面墻，每個雞窩的最大面積是多少？

分析：

- 結(jié)構(gòu)需滿足“2條長邊 + 3條短邊 = 60”（即2a + 3b = 60）。

- 轉(zhuǎn)化為“2a與3b的和固定”，當(dāng)2a = 3b = 30米時，乘積最大：

- a = 15米，b = 10米，每個雞窩面積= 15 × 10 = 150平方米。

2. 五個并列雞窩

例題5：用60米鐵板圍成五個并列雞窩，借助一面墻，每個雞窩的最大面積是多少？

分析：

- 結(jié)構(gòu)需滿足“5條長邊 + 6條短邊 = 60”（即5a + 6b = 60）。

- 當(dāng)5a = 6b = 30米時，乘積最大：

- a = 6米，b = 5米，每個雞窩面積= 6 × 5 = 30平方米。

規(guī)律總結(jié)：并列結(jié)構(gòu)越多，單個區(qū)域的面積越小，但總利用率可能更高！

五、原理拓展：為什么“差小積大”成立？

我們可以用代數(shù)驗證這一原理：

設(shè)兩數(shù)之和為C，即a + b = C，則乘積P = a × b = a × (C – a) = –a + C·a。

這是一個開口向下的拋物線，最大值出現(xiàn)在頂點（a = C/2）。此時a = b = C/2，驗證了“差小積大”的正確性。

六、常見錯誤與避坑指南

1. 忽略結(jié)構(gòu)約束：如例題3中誤將“a + 2b = 60”簡化為“a + b = 30”。

2. 錯誤分配變量：例題4中若未將“2a + 3b”整體視為“和一定”，會導(dǎo)致計算錯誤。

3. 忘記單位換算：實際問題中需注意單位是否統(tǒng)一（如米、厘米）。

七、實戰(zhàn)演練：測測你掌握了嗎？

1. 用40米籬笆圍一個靠墻的長方形花園，最大面積是多少？

2. 用100米鐵板圍成三個并列倉庫（靠墻），每個倉庫的最大面積是多少？

答案揭曉：

1. 長20米，寬10米，面積200平方米；

2. 長20米，寬約8.33米，每個面積約166.67平方米。