求多項式有理根的步驟

在數學領域中，求解多項式的有理根是一個重要的問題。本文將詳細介紹如何通過有理根定理來求解多項式的有理根，并通過一個具體的例子來說明其應用。

首先，我們定義一個多項式 \( P(x) \) 如下：

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \]

其中，\( a_0, a_1, \ldots, a_n \) 均為整數，且 \( a_n \neq 0 \)。

假設 \( P(x) \) 有一個有理根 \( \frac{p}{q} \)，其中 \( p, q \in \mathbb{Z} \) 且 \( p \) 和 \( q \) 互質（即 \( \gcd(p, q) = 1 \)）。

有理根定理

有理根定理指出，如果一個多項式 \( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \) 有一個有理根 \( \frac{s}{t} \)，其中 \( s, t \in \mathbb{Z} \) 且 \( \gcd(s, t) = 1 \)，那么 \( |t| \) 必須整除 \( |a_n| \)，且 \( |s| \) 必須整除 \( |a_0| \)。

證明過程

為了證明有理根定理，我們從多項式 \( P(x) \) 的定義出發：

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \]

假設 \( \frac{p}{q} \) 是 \( P(x) \) 的一個有理根，即：

\[ P\left(\frac{p}{q}\right) = 0 \]

將 \( \frac{p}{q} \) 代入多項式中，我們得到：

\[ a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left(\frac{p}{q}\right) + a_0 = 0 \]

將每一項都乘以 \( q^n \)，以消去分母：

\[ a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \cdots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0 \]

由于 \( p \) 和 \( q \) 互質，我們可以觀察到：

1. \( a_0 q^n \) 必須整除 \( p \)，因為 \( p \) 和 \( q \) 互質，所以 \( a_0 \) 必須整除 \( p \)，即 \( p \) 是 \( a_0 \) 的因子。

2. 同理，\( a_n p^n \) 必須整除 \( q \)，因為 \( p \) 和 \( q \) 互質，所以 \( a_n \) 必須整除 \( q \)，即 \( q \) 是 \( a_n \) 的因子。

應用示例

為了更好地理解有理根定理的應用，我們來看一個具體的例子。考慮多項式：

\[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 14 \]

我們假設 \( f(x) \) 存在一個有理根 \( \frac{s}{t} \)，根據有理根定理，我們知道：

- \( t \) 必須整除 \( 1 \)，即 \( t = 1 \) 或 \( t = -1 \)。

- \( s \) 必須整除 \( 14 \)，即 \( s \) 可以取 \( \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 \)。

因此，可能的有理根為：

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 \]

接下來，我們逐一驗證這些可能的有理根：

1. 當 \( x = 1 \) 時：

\[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 14 = 1 - 6 + 15 - 14 = -4 \neq 0 \]

2. 當 \( x = -1 \) 時：

\[ f(-1) = (-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 + 15 \cdot (-1) - 14 = -1 - 6 - 15 - 14 = -36 \neq 0 \]

3. 當 \( x = 2 \) 時：

\[ f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 - 14 = 8 - 24 + 30 - 14 = 0 \]

因此，\( x = 2 \) 是 \( f(x) \) 的一個根。接下來，我們將 \( x - 2 \) 除以 \( f(x) \)，得到商多項式 \( q(x) \)：

\[ f(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 7) \]

現在，我們需要求解 \( q(x) = x^2 - 4x + 7 \) 的根。使用求根公式：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

其中，\( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 7 \)：

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm \sqrt{3}i \]

因此，\( f(x) \) 的所有根為：

\[ 2, 2 + \sqrt{3}i, 2 - \sqrt{3}i \]

通過有理根定理，我們可以有效地找到多項式的有理根。該定理不僅簡化了求解過程，還為我們提供了一種系統的方法來驗證和尋找多項式的根。在實際應用中，有理根定理是解決多項式方程的重要工具之一。通過上述例子，我們展示了如何利用有理根定理逐步求解多項式的根，從而得出最終的結果。

希望本文能夠幫助讀者更好地理解和應用有理根定理。