從“分得一份”到“取得幾份”：跨越分?jǐn)?shù)理解的關(guān)鍵階梯

一、一道讓許多孩子“卡住”的題

辦公室里，李老師拿著幾份作業(yè)本輕輕嘆氣。她剛剛教完了《認(rèn)識(shí)幾分之一》，孩子們用圓片擺一擺，分一分，對于“把12個(gè)蘑菇平均分成4份，取其中的一份”這樣的問題，掌握得不錯(cuò)。列式是 \( 12 \div 4 = 3 \)（個(gè)），清晰明了。

可今天，題目變成了：“兔媽媽采了12個(gè)蘑菇，將這些蘑菇的 \(\frac{3}{4}\) 分給小兔，小兔分到多少個(gè)？”作業(yè)本上就出現(xiàn)了五花八門的答案。

有寫 \( 12 \div 3 = 4 \) 的，有寫 \( 12 \div 4 = 3 \) 后就停筆的，還有干脆寫了 \( 3 \times 4 = 12 \) 的。

這道題，仿佛一個(gè)無形的門檻，橫在了“認(rèn)識(shí)幾分之一”和“認(rèn)識(shí)幾分之幾”之間。孩子知道 \(\frac{1}{4}\) 怎么求，但面對 \(\frac{3}{4}\)，那個(gè)分子“3”就像一道屏障，阻斷了他們順暢的思路。這恰恰是四年級上冊分?jǐn)?shù)應(yīng)用的一個(gè)核心轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是我們教學(xué)需要著力搭建“階梯”的地方。

二、教材的“無聲”階梯：為何要先分一分，再算一算

當(dāng)我們翻開課本，會(huì)發(fā)現(xiàn)編者的用心良苦。在“認(rèn)識(shí)幾分之幾”的實(shí)際問題教學(xué)編排上，教材幾乎沒有一上來就拋出算法。它的邏輯鏈條非常清晰：

第一步，回歸“平均分”的原始操作。無論是例題還是“想想做做”，指示語常常是“先分一分”、“涂一涂”、“擺一擺”。這絕非多余。它是在喚醒孩子對分?jǐn)?shù)根本意義的記憶——分?jǐn)?shù)源于平均分。當(dāng)孩子動(dòng)手把12個(gè)圓片平均分成4份時(shí)，他眼中看到的，不是一個(gè)冰冷的算式，而是4堆同樣多的、實(shí)實(shí)在在的圓片。

視覺和操作，為抽象思維提供了最堅(jiān)實(shí)的腳手架。

第二步，從“一份”自然過渡到“幾份”。在均等的4份面前，老師可以指向其中一份問：“這是多少？”孩子答：“是這些圓片的 \(\frac{1}{4}\)，是3個(gè)。”緊接著，老師用手蓋住其中的三份，再問：“那像這樣取出的3份，又該怎么說呢？

”孩子幾乎能水到渠成地聯(lián)想到：“是這些圓片的 \(\frac{3}{4}\)。”看，關(guān)鍵的 \(\frac{3}{4}\) 出現(xiàn)了，但它不是憑空降臨的術(shù)語，而是從“1份”自然生長出的“3份”。它的意義，首先是一份一份地“取”，是具象的累計(jì)。

第三步，才是算法的提煉。當(dāng)孩子清楚知道，\(\frac{3}{4}\) 就是先平均分成4份，再取出這樣的3份后，列式就成了思維的記錄。他們能理解，\( 12 \div 4 = 3 \)（個(gè)），求出的正是那“一份”是多少，也就是單位量。

要取3份，自然是 \( 3 \times 3 = 9 \)（個(gè)）。算法 \( 12 \div 4 \times 3 \) 不再是一句需要背誦的咒語，而是操作過程最簡練的數(shù)學(xué)表達(dá)。教材通過這種“先物后理，先分后算”的編排，小心翼翼地把孩子從具象世界渡向抽象世界。

三、核心操作：讓“除以分母乘分子”從手上長出來

理解了教材的階梯，我們的課堂重心就明確了：不惜時(shí)間，做好操作與算式之間的“翻譯”工作。

我們可以這樣設(shè)計(jì)核心的探究環(huán)節(jié)：

準(zhǔn)備12個(gè)圓片（或其他代幣），代表12個(gè)蘑菇。

問題：拿出這些蘑菇的 \(\frac{3}{4}\)，該怎么拿？拿了多少個(gè)？

1. 分一分：請平均分成4份。孩子動(dòng)手操作，得到4堆，每堆3個(gè)。

2. 說一說：每份是這些蘑菇的幾分之幾？是多少個(gè)？（\(\frac{1}{4}\)， 是3個(gè)。）

3. 拿一拿：\(\frac{3}{4}\) 需要拿出這樣的幾份？（3份）。請你拿出來。

4. 數(shù)一數(shù)：一共拿出了多少個(gè)？（9個(gè)）

5. 記一記：我們剛才的過程，能用算式記錄下來嗎？

* 第一步，平均分4份：\( 12 \div 4 = 3 \)（個(gè)）。這個(gè)“3個(gè)”是什么？（是每一份的數(shù)量）。

* 第二步，取出3份：\( 3 \times 3 = 9 \)（個(gè)）。這個(gè)乘“3”是什么？（是取的份數(shù)）。

完整的記錄就是：\( 12 \div 4 \times 3 = 9 \)（個(gè)）。

到這里，教學(xué)并沒有結(jié)束。一個(gè)巧妙的追問能讓思維深化：“如果不擺圓片，兔媽媽采了16個(gè)蘑菇，它的 \(\frac{3}{4}\) 是多少呢？”引導(dǎo)孩子脫離實(shí)物，在頭腦中完成“分”與“取”的想象，并列出 \( 16 \div 4 \times 3 \)。

接著是20個(gè)，100個(gè)……讓孩子在大量的口頭列式中感受，雖然總數(shù)在變，但“先除以分母（平均分的份數(shù)），再乘分子（取的份數(shù)）”這個(gè)步驟始終如一。

這時(shí)再問：“12除以4算到的是什么？3乘3得到的又是什么？”孩子就能清晰地回答：除以4得到的是“一份量”，乘3實(shí)現(xiàn)的是“取幾份”。分?jǐn)?shù)的乘法意義，就在這扎實(shí)的步驟里埋下了種子。

四、從練習(xí)看思維：建立“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的模型

有效的練習(xí)是模型的鞏固和遷移。課本的“想想做做”提供了很好的層次：

第一層：強(qiáng)化“先分后算”的視覺支撐。

如第1題，給出8個(gè)蘋果，要求分一分表示出它的 \(\frac{3}{4}\)。這里務(wù)必要求孩子用虛線畫圈，明確分出4份，再給其中的3份打鉤。這個(gè)“分”的動(dòng)作，是后續(xù)所有抽象計(jì)算的“根”。我們甚至要鼓勵(lì)孩子邊畫邊默念：“平均分成4份，取這樣的3份。”

第二層：應(yīng)用于不同的“單位1”，理解其一致性。

這是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵。題目中的“整體”在靈活變化。

* 可能是離散數(shù)量，如一排12個(gè)棋子，求它的 \(\frac{2}{3}\)。

* 可能是連續(xù)量，如一根綢帶長100厘米，求它的 \(\frac{3}{5}\)。這里要幫孩子建立“把整根綢帶長度看作一個(gè)整體”的觀念。可以想象將綢帶平均分成5段，每段長 \( 100 \div 5 = 20 \)（厘米），取3段就是 \( 20 \times 3 = 60 \)（厘米）。

算法依然是 \( 100 \div 5 \times 3 \)。

* 還可能是時(shí)間，如鐘面的“1時(shí)的 \(\frac{3}{4}\)”。通過將鐘面圓形一周（60分鐘）平均分4份、涂色3份的操作，孩子能直觀地發(fā)現(xiàn)1時(shí)的 \(\frac{3}{4}\) 就是45分鐘。這打通了分?jǐn)?shù)與時(shí)間進(jìn)率的聯(lián)系，展現(xiàn)了分?jǐn)?shù)應(yīng)用的廣泛性。

第三層：鏈接生活與科學(xué)，感受數(shù)學(xué)的有用與有趣。

教材“你知道嗎？”介紹月球重力的內(nèi)容，是一個(gè)絕佳的興趣點(diǎn)。“一個(gè)物體在地球上重30千克，到了月球上，重量就只有地球上的 \(\frac{1}{6}\)。”我們可以問：“月球上的體重怎么求？”孩子列出 \( 30 \div 6 = 5 \)（千克）。

繼而可以激發(fā)想象：“如果你的體重是36千克，到了月球上是多少千克呢？”（\( 36 \div 6 = 6 \)千克）。這個(gè)例子讓“求一個(gè)數(shù)的幾分之一”變得生動(dòng)可感，讓孩子覺得數(shù)學(xué)真的能用來解釋世界。

五、思維的延伸：當(dāng)數(shù)字變大，模型依然堅(jiān)固

課堂的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，應(yīng)當(dāng)把孩子從具體的數(shù)字中托舉起來，俯瞰整個(gè)數(shù)學(xué)模型。

我們可以回到最初的追問，并進(jìn)行總結(jié)：

“孩子們，我們從12個(gè)蘑菇的 \(\frac{3}{4}\)，算到16個(gè)、20個(gè)、100個(gè)……我們發(fā)現(xiàn)，不管這個(gè)整體具體是多少，只要我們是求它的幾分之幾，我們都可以先（把它平均分成幾份），求出一份是多少，再（乘上要取的份數(shù)）。”

這個(gè)過程，就是數(shù)學(xué)建模的過程——從一個(gè)個(gè)具體案例中，剝離掉“蘑菇”、“蘋果”、“綢帶”這些具體外衣，抽象出共同的、穩(wěn)定的數(shù)量關(guān)系。

當(dāng)孩子下一次遇到“48人的 \(\frac{5}{8}\)”或者“一杯水面的 \(\frac{1}{4}\)”時(shí)，他腦海中激活的不再是迷茫，而是那個(gè)清晰的兩步流程：確定整體，平均分（除以分母），取幾份（乘分子）。

跨越了從“取一份”到“取幾份”這個(gè)階梯，孩子對分?jǐn)?shù)的理解就進(jìn)入了一個(gè)新的天地。他們掌握的不僅僅是一個(gè)算法，而是一種如何將分?jǐn)?shù)意義轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的思考路徑。這條路徑，始于指尖的操作，固化于清晰的算式，最終內(nèi)化為一種可遷移的數(shù)學(xué)力量。

而這，正是我們數(shù)學(xué)課堂最希望交付給孩子的禮物——帶得走的能力，而不僅僅是記得住的知識(shí)。