高中數學典范題目有哪些，高中數學典范題目有哪些？你知道嗎？

題目：展開 \((1+2x)^3(1-3x)^5\) 并求 \(x\) 的系數。

答案：

- 原式 = \((1+6x+12x^2+8x^3)\)( \(1-15x+90x^2-270x^3+405x^4-405x^5+1215x^6-945x^7+243x^8\) )

- 合并同類項后，\(x\) 的系數為 \(-4\)。

該題目考查了二項式定理的應用以及多項式的乘法運算。

題目：解不等式 \(2x-5 > 11\)。

答案：

- 解：\(2x > 16\)

- \(x > 8\)

此題主要考查了一元一次不等式的解法，包括移項和系數化1的步驟。

題目：求函數 \(y=x+\frac{1}{x}\) 的值域。

答案：

- 當 \(x>0\) 時，\(y=x+\frac{1}{x} \geq 2\)，當且僅當 \(x=1\) 時取等號。

- 當 \(x<0\) 時，\(y=-(-x+\frac{1}{-x}) \leq -2\)，當且僅當 \(x=-1\) 時取等號。

- 函數的值域為 \((-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\)。

此題考查了函數的值域問題，需要分類討論自變量的取值范圍。

二、幾何部分

題目：已知雙曲線 \(C: x^2 - y^2 = 1\)，點 \(F_1, F_2\) 分別為其左、右焦點，點 \(P\) 在 \(C\) 上且 \(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，求點 \(P\) 到 \(x\) 軸的距離。

答案：

- 根據雙曲線的性質，\(a=b=1\)，\(c=\sqrt{2}\)。

- 設點 \(P(x_0, y_0)\)，則 \(\frac{y_0}{x_0-c} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。

- 因為 \(x_0^2 - y_0^2 = 1\)，聯立方程可解得 \(y_0 = \frac{3}{2}\)。

- 所以點 \(P\) 到 \(x\) 軸的距離為 \(\frac{3}{2}\)。

該題目綜合考查了雙曲線的定義、焦點性質以及三角函數的應用。

題目：正方體 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，\(E\)、\(F\) 分別是 \(AB\)、\(AD\) 的中點，求異面直線 \(BF\) 與 \(CE\) 所成角的大小。

答案：

- 連接 \(B_1F\)，由于 \(E\)、\(F\) 分別是 \(AB\)、\(AD\) 的中點，\(B_1F \parallel CE\)。

- 異面直線 \(BF\) 與 \(CE\) 所成的角即為 \(BF\) 與 \(B_1F\) 所成的角。

- 在直角三角形 \(B_1BF\) 中，易求得所成角的大小為 \(45^\circ\)。

此題考查了空間想象能力和異面直線所成角的求解方法。

三、函數與導數部分

題目：若函數 \(f(x)=|lg|x||\)，且 \(0<a<b<1\)，則 \(f(a)+f(b)\) 的取值范圍是（）。

A. (2, +∞) B. (3, +∞) C. (, +∞) D. [3, +∞)

答案：

- 因為 \(0<a<b<1\)，\(lg a<lg b<0\)，\(f(a)+f(b)=|lg a|+|lg b|= -lg a -lg b = -(lg a +lg b) = -lg(ab)\)。

- 因為 \(0<ab<1\)，\(lg(ab)<0\)，\(-lg(ab)>0\)。

- 當 \(ab\) 趨近于0時，\(-lg(ab)\) 趨近于無窮大，\(f(a)+f(b)\) 的取值范圍是 (,2, +∞)，故選A。

該題目考查了對數函數的性質、絕對值函數的性質以及復合函數的單調性。

題目：求函數 \(f(x)=x^3-3x^2+2\) 的極值。

答案：

- 求導得：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。

- 令 \(f'(x)=0\)，解得 \(x=0\) 或 \(x=2\)。

- 當 \(x<0\) 時，\(f'(x)>0\)，函數單調遞增；當 \(0<x<2\) 時，\(f'(x)<0\)，函數單調遞減；當 \(x>2\) 時，\(f'(x)>0\)，函數單調遞增。

- 當 \(x=0\) 時，函數取得極大值 \(f(0)=2\)；當 \(x=2\) 時，函數取得極小值 \(f(2)=0\)。

此題考查了利用導數研究函數的單調性和極值問題。

四、三角函數部分

題目：已知 \(\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}\)，求 \(\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta+\cos 2\alpha\cdot\sin 2\beta\) 的值。

答案：

- 原式 = \(\frac{1}{2}(\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta+\cos 2\alpha\cdot\sin 2\beta+\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta-\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta)\)

- = \(\frac{1}{2}(\sin 2(\alpha+\beta)+\sin 2(\alpha-\beta))\)

- = \(\frac{1}{2}(2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta))\)

- = \(\sin(\alpha+\beta)\cdot\cos(\alpha-\beta)\)。

- 因為 \(\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}\)，\(\sin(\alpha+\beta)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

- \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta=\frac{1+\cos 2(\alpha-\beta)}{2}\)。

- 因為 \(\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}\)，\(\alpha+\beta=120^\circ\) 或 \(240^\circ\)，即 \(\beta=120^\circ-\alpha\) 或 \(\beta=240^\circ-\alpha\)。

- 當 \(\beta=120^\circ-\alpha\) 時，代入可得 \(\cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}\)，此時原式 = \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{4}\)；

同理可得當 \(\beta=240^\circ-\alpha\) 時原式也為-\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)。

- 原式的值為 \(-\frac{\sqrt{3}}{4}\)。

該題目綜合考查了三角恒等變換公式、誘導公式以及同角三角函數的基本關系。