高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

篇1：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

高中數(shù)學(xué)必修一知識點(diǎn)總結(jié)

在大家開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之前，對于為什么要學(xué)數(shù)學(xué)、如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)等問題，我有一些想法與你們交流。為什么要學(xué)數(shù)學(xué)呢?我想從以下兩個(gè)方面談?wù)務(wù)J識。1.數(shù)學(xué)是有用的。2.學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力那么，如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢?我想首先應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)有一個(gè)正確的認(rèn)識。1.數(shù)學(xué)是自然的。2.數(shù)學(xué)是清楚的。在對數(shù)學(xué)有一個(gè)正確認(rèn)識的基礎(chǔ)上，還需要講究一點(diǎn)點(diǎn)方法。1.學(xué)數(shù)學(xué)要摸索自己的學(xué)習(xí)方法。2.學(xué)數(shù)學(xué)趁年輕。

第一章 集合與函數(shù)概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對象叫元素.

2、集合的中元素的三個(gè)特性：元素的確定性;元素的互異性;元素的無序性.

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 a∈A ,相反,a不屬于集合A

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個(gè)大括號括上.

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法.

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作： y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.

一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f：A B為從集合A到集合B的一個(gè)映射.記作“f：A B”

給定一個(gè)集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的;②對應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對于映射f：A→B來說,則應(yīng)滿足：(Ⅰ)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè);(Ⅲ)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.

篇2：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

人教版高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講總結(jié)

人教版高中數(shù)學(xué)必修四主要內(nèi)容是三角函數(shù)和向量，這兩個(gè)項(xiàng)在高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到，所以考生在學(xué)習(xí)的時(shí)候要認(rèn)真學(xué)習(xí)，下面是有途網(wǎng)小編為大家整理的人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識總結(jié)，僅供大家參考。

人教版高中數(shù)學(xué)必修四---三角函數(shù)

1.人教版高中數(shù)學(xué)正弦二倍角公式： sin2α = 2cosαsinα

推導(dǎo)：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA

拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2] 1+sin2A=(sinA+cosA)^2

2.人教版高中數(shù)學(xué)余弦二倍角公式：余弦二倍角公式有三組表示形式，三組形式等價(jià)。

(1)Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]

(2)Cos2a=1-2Sina^2

(3)Cos2a=2Cosa^2-1

推導(dǎo)：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1 =1-2(sinA)^2

3.人教版高中數(shù)學(xué)正切二倍角公式：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]

推導(dǎo)：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-(tanA)^2]

降冪公式：cosA^2=[1+cos2A]/2 sinA^2=[1-cos2A]/2

變式： sin2α=sin2α+π4-cos2α+4π=2sin2a+4π-1=1-2cos2α+4π; cos2α=2sinα+4πcosα+4π

4.人教版高中數(shù)學(xué)半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2;cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2;tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

5.人教版高中數(shù)學(xué)兩角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

6.人教版高中數(shù)學(xué) 萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

7.人教版高中數(shù)學(xué)其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

8.人教版高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)口訣

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。

同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割;

中心記上數(shù)字1，連結(jié)頂點(diǎn)三角形;向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對角，

頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小，

變成銳角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，

將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，

余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。

計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。

逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用;

1加余弦想余弦，1減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范;

三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍;

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集。

人教版高中數(shù)學(xué)必修四---向量

1.人教版高中數(shù)學(xué)向量的加法：向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

2.人教版高中數(shù)學(xué)向量的減法：如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0， 即“共同起點(diǎn)，指向被減”

3.人教版高中數(shù)學(xué)數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;

當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

4.人教版高中數(shù)學(xué)數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ=?0且λa=λb，那么a=b。② 如果a=?0且λa=μa，那么λ=μ。

5.人教版高中數(shù)學(xué)向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a?b=b?a(交換律);

(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c=?a?(b?c);例如：(a?b)^2=?a^2?b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c (a=?0)，推不出 b=c。

3、|a?b|=?|a|?|b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

6.人教版高中數(shù)學(xué)向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

7.人教版高中數(shù)學(xué)向量的三角形不等式

(1)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號;

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號。

(2)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號;

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號。

篇3：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　一、集合相關(guān)概念

　　1、集合中元素的特性

　　⑴元素的確定性：組成集合的元素必須是確定的。

　　⑵元素的互異性：集合中不得有重復(fù)的元素。

　　⑶元素的無序性：集合中元素的排列不遵循某種順序，是隨意排列的。

　　2、集合的表示方法

　　⑴列舉法：將集合中元素一一列出。

　　⑵描述法：將集合中元素的公共屬性用語言描述出來。

　　⑶解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共屬性。

　　⑷圖示法：用韋恩圖直觀的畫出集合中的元素。

　　3、集中特殊數(shù)集的表示方法

　　自然數(shù)集： N 正整數(shù)集：N+

　　整數(shù)集：Z 有理數(shù)集：Q

　　實(shí)數(shù)集：R 空集：Φ

　　二、集合間的基本關(guān)系——子集與真子集

　　1、自反性——任何一個(gè)集合都是它本身的子集：A？A。

　　2、如果A？B 且 A≠B，則，A是B的真子集。

　　3、傳遞性：如果A？B，B？C，則A？C。

　　4、如果A？B且B？A，則A=B。

　　5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　6、有n 個(gè)元素的集合，有 2n個(gè)子集，有2n-1 個(gè)真子集。

　　四、函數(shù)的相關(guān)概念

　　1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個(gè)特定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數(shù)的值域。

　　★2、函數(shù)定義域的解題思路：

　　⑴ 若x處于分母位置，則分母x不能為0。

　　⑵ 偶次方根的被開方數(shù)不小于0。

　　⑶ 對數(shù)式的真數(shù)必須大于0。

　　⑷ 指數(shù)對數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。

　　⑸ 指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)不得為0。

　　⑹ 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。

　　⑺ 實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義。

　　3、相同函數(shù)

　　⑴ 表達(dá)式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

　　⑵ 定義域一致，對應(yīng)法則一致。

　　4、函數(shù)值域的求法

　　⑴ 觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡單的由初等函數(shù)通過四則運(yùn)算得到的函數(shù)。

　　⑵ 圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。

　　⑶ 配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。

　　⑷ 代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測未知函數(shù)的值域。

　　5、函數(shù)圖像的變換

　　⑴ 平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。

　　⑵ 伸縮變換：在x前加上系數(shù)。

　　⑶ 對稱變換：高中階段不作要求。

　　6、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射。

　　⑴ 集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

　　⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)。

　　⑶ 不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

　　7、分段函數(shù)

　　⑴ 在定義域的不同部分上有不同的解析式表達(dá)式。

　　⑵ 各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。

　　⑶ 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

　　8、復(fù)合函數(shù)：如果（u∈M），u=g(x) （x∈A），則，y=f[g(x)]=F(x) （x∈A），稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

篇4：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念定義域

　　（高中函數(shù)定義）設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；

　　高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)值域

　　名稱定義

　　函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合

　　高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)常用的求值域的方法

　　（1）化歸法；（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合），

　　（3）函數(shù)單調(diào)性法，

　　（4）配方法，（5）換元法，（6）反函數(shù)法（逆求法），（7）判別式法，（8）復(fù)合函數(shù)法，（9）三角代換法，（10）基本不等式法等

　　高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

　　定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本“元件”。平時(shí)數(shù)學(xué)中，實(shí)行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問題的同時(shí)，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對函數(shù)的掌握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)模�絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于互相轉(zhuǎn)化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化）。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來講，求值域的問題有時(shí)比求定義域問題難，實(shí)踐證明，如果加強(qiáng)了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。

　　高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)“范圍”與“值域”相同嗎？

　　“范圍”與“值域”是我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個(gè)概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念。“值域”是所有函數(shù)值的集合（即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值），而“范圍”則只是滿足某個(gè)條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個(gè)條件）。也就是說：“值域”是一個(gè)“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。

篇5：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　1、冪函數(shù)定義：一般地，形如  的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 為常數(shù)．

　　2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

　　（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；

　　（2） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間 上是增函數(shù)．特別地，當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；

　　（3） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當(dāng) 趨于 時(shí)，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．

　　第四章 函數(shù)的應(yīng)用

　　一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

　　1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù) ，把使 成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。

　　2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

　　即：方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn)．

　　3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

　　○1 （代數(shù)法）求方程 的實(shí)數(shù)根；

　　○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

　　4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

　　二次函數(shù) ．

　　（1）△＞０，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

　　（2）△＝０，方程 有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

　　（3）△＜０，方程 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．

　　5.函數(shù)的模型

篇6：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　（1）直線的傾斜角

　　定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

　　（2）直線的斜率

　　①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在。

　　②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：

　　注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

　　(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；

　　(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

　　(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

　　立體幾何初步

　　1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

　　（1）棱柱：

　　定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

　　分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

　　幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

　　（2）棱錐

　　定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

　　分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

　　表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

　　幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

　　（3）棱臺：

　　定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

　　分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

　　表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺

　　幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

　　（4）圓柱：

　　定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

　　幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

　　（5）圓錐：

　　定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

　　幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

　　（6）圓臺：

　　定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

　　幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

　　（7）球體：

　　定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

　　幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

　　2、空間幾何體的三視圖

　　定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

　　注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；

　　俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

　　側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

　　3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

　　斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

　　②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

　　圓的方程

　　1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。

　　2、圓的方程

　　（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（），

　　（）圓心（），半徑為r；

　　（2）一般方程

　　當(dāng)時(shí)（），方程表示圓，此時(shí)圓心為（），半徑為（）

　　當(dāng)時(shí)（），表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)（），方程不表示任何圖形。

　　（3）求圓方程的方法：

　　一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，

　　若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

　　另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

　　3、直線與圓的位置關(guān)系：

　　直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

　　（1）設(shè)直線（），圓（），圓心（）到l的距離為（），則有（）；

　　（2）過圓外一點(diǎn)的切線：①k不存在，驗(yàn)證是否成立②k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】

　　(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

　　①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(課本命題)．

　　②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．

　　4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

　　設(shè)圓（），

　　兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

　　當(dāng)（）時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

　　當(dāng)（）時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

　　當(dāng)（）時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

　　當(dāng)（）時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

　　當(dāng)（）時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)時(shí)，為同心圓。

　　（3）直線方程

　　①點(diǎn)斜式：

　　直線斜率k，且過點(diǎn)

　　注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

　　②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b

　　③兩點(diǎn)式：（

　　）直線兩點(diǎn)，

　　④截矩式：

　　其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。

　　⑤一般式：（A，B不全為0）

　　⑤一般式：（A，B不全為0）

　　注意：○1各式的適用范圍

　　○2特殊的方程如：平行于x軸的直線：

　　（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：

　　（a為常數(shù)）；

　　（4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

　　（一）平行直線系

　　平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）

　　（二）過定點(diǎn)的直線系

　　（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過定點(diǎn)；

　　（ⅱ）過兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。

　　（5）兩直線平行與垂直

　　當(dāng)，時(shí)，；

　　注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

　　（6）兩條直線的交點(diǎn)

　　相交

　　交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數(shù)解與重合

　　（7）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則

　　（8）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離

　　（9）兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

篇7：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　一、定義

　　1.對數(shù)：一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log aN=b，讀作以a為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

　　2.對數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)y=log(a)X，(其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1)叫做對數(shù)函數(shù)，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

　　二、對數(shù)函數(shù)

　　1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

　　注意：○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如： ，  都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．

　　○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制： ，且 ．

　　2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

　　a>1 0<a<1

　　定義域x＞0 定義域x＞0

　　值域?yàn)镽 值域?yàn)镽

　　在R上遞增 在R上遞減

　　函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0） 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）

篇8：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。

　　方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

　　從本質(zhì)上講，函數(shù)與方程沒是沒有什么區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以說，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。

　　典型例題1：

　　很多時(shí)候，在高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果我們能實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，就能達(dá)到解決問題的目的。

　　我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。

　　函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

　　典型例題2：

　　典型例題3：

　　函數(shù)知識涉及的知識點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。

　　我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：

　　遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；

　　有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；

　　含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；

　　實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答。

篇9：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　高三數(shù)學(xué)期末考知識點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)集錦。備戰(zhàn)高三期末考，時(shí)間緊任務(wù)重，如何快速的理清復(fù)習(xí)思路呢，最好的辦法就是整理高中數(shù)學(xué)的思維導(dǎo)圖，根據(jù)思維導(dǎo)圖上知識點(diǎn)的聯(lián)系性進(jìn)行有計(jì)劃的復(fù)習(xí)，這樣才更有效率。

　　1：簡單隨機(jī)抽樣

　　(1)總體和樣本

　　①在統(tǒng)計(jì)學(xué)中 ， 把研究對象的全體叫做總體.②把每個(gè)研究對象叫做個(gè)體.③把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.

　　④為了研究總體 的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分： x1，x2 ， ....，xx 研究，我們稱它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量.

　　(2)簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨

　　機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

　　(3)簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：

　　①抽簽法②隨機(jī)數(shù)表法③計(jì)算機(jī)模擬法③使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

　　在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

　　(4)抽簽法：

　　①給調(diào)查對象群體中的每一個(gè)對象編號；②準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽；

　　③對樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查

　　(5)隨機(jī)數(shù)表法：

　　2：系統(tǒng)抽樣

　　(1)系統(tǒng)抽樣(等距抽樣或機(jī)械抽樣)：

　　把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。 K(抽樣距離)=N(總體規(guī)模)/n(樣本規(guī)模)

　　前提條件：總體中個(gè)體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

　　(2)系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊�求較低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

　　3：分層抽樣

　　(1)分層抽樣(類型抽樣)：

　　先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟危�然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

　　兩種方法：

　　①先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

　　②先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

　　(2)分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

　　分層標(biāo)準(zhǔn)：

　　①以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

　　②以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。

　　③以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

篇10：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　冪函數(shù)定義：

　　形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　定義域和值域：

　　當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

　　性質(zhì)：

　　對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。高中數(shù)學(xué)的函數(shù)當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

　　排除了為0這種可能，即對于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

　　排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

　　高一數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

　　如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

　　在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

　　在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點(diǎn)。

　　(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

　　(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

　　(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　(5)a大于0，函數(shù)過(0，0);a小于0，函數(shù)不過(0，0)點(diǎn)。

　　(6)顯然冪函數(shù)無界。

篇11：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　1.圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓.定點(diǎn)叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑.

　　2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

　　說明：

　　（1）上式稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　（2）如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)a＝0，b＝0，圓的方程就是x2+y2=r2.

　　（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程顯示了圓心為（a，b），半徑為r這一幾何性質(zhì)，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圓心為（a，b），半徑為r.

　　（4）確定圓的條件

　　由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知有三個(gè)參數(shù)a、b、r，只要求出a、b、r，這時(shí)圓的方程就被確定．因此，確定圓的方程，需三個(gè)獨(dú)立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件.

　　（5）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定

　　若點(diǎn)M（x1，y1）在圓外，則點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2＞r2；

　　若點(diǎn)M（x1，y1）在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2＜r2；

　　（二）圓的一般方程

　　任何一個(gè)圓的方程都可以寫成下面的形式：

　　x2+y2+Dx+Ey+F=0①

　　將①配方得：

　　②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4

　　當(dāng)時(shí)，方程①表示以（-D/2，-E/2）為圓心，以為半徑的圓；

　　當(dāng)時(shí)，方程①只有實(shí)數(shù)解，所以表示一個(gè)點(diǎn)（-D/2，-E/2）；

　　當(dāng)時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，因此它不表示任何圖形.

　　故當(dāng)時(shí)，方程①表示一個(gè)圓，方程①叫做圓的一般方程.

　　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn)：

　　（1）和的系數(shù)相同，且不等于0；

　　（2）沒有xy這樣的二次項(xiàng).

　　以上兩點(diǎn)是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件.

　　要求出圓的一般方程，只要求出三個(gè)系數(shù)D、E、F就可以了.

　　（三）直線和圓的位置關(guān)系

　　1.直線與圓的位置關(guān)系

　　研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：

　　（l）幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.

　　d>r直線與圓相離；d＝r直線與圓相切；0≤d

篇12：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

　　（1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn)

　　（2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

　　兩個(gè)平面平行-----沒有公共點(diǎn)；兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。

　　a、平行

　　兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

　　兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。

　　b、相交

　　二面角

　　（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。

　　（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]

　　（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

　　（4）二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

　　（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

　　（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

　　esp.兩平面垂直

　　兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。記為⊥

　　兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

　　兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

　　Attention：

　　二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系）

　　多面體

　　棱柱

　　棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

　　棱柱的性質(zhì)

　　（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

　　（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

　　（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對角面）是平行四邊形

　　棱錐

　　棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

　　棱錐的性質(zhì)：

　　（1）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形

　　（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方

　　正棱錐

　　正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

　　正棱錐的性質(zhì)：

　　（1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

　　（3）多個(gè)特殊的直角三角形

　　esp：

　　a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

　　b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

篇13：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　1.高二數(shù)學(xué)數(shù)列知識點(diǎn)數(shù)列概念

　　①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

　　②用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項(xiàng)公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。

　　③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項(xiàng)公式。

　　等差數(shù)列

　　1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式

　　an=a1+(n-1)d

　　n=1時(shí)a1=S1

　　n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1

　　an=kn+b(k，b為常數(shù))推導(dǎo)過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b

　　2.等差中項(xiàng)

　　由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)(arithmeticmean)。

　　有關(guān)系：A=(a+b)÷2

　　3.前n項(xiàng)和

　　倒序相加法推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式：

　　Sn=a1+a2+a3+·····+an

　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

　　Sn=an+an-1+an-2+······+a1

　　=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個(gè))=n(a1+an)

　　∴Sn=n(a1+an)÷2

　　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半：

　　Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

　　Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

　　亦可得

　　a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

　　an=2sn÷n-a1

　　有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

　　4.等差數(shù)列性質(zhì)

　　一、任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為：

　　an=am+(n-m)d

　　它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

　　二、從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：

　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*

　　三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq

　　四、對任意的k∈N*，有

　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。

　　等比數(shù)列

　　1.等比中項(xiàng)

　　如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

　　有關(guān)系：

　　注：兩個(gè)非零同號的實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以G2=ab是a，G，b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。

　　2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式

　　an=a1*q’(n-1)(其中首項(xiàng)是a1，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)

　　前n項(xiàng)和

　　當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

　　Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1)

　　當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

　　Sn=na1

　　3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系

　　an=a1=s1(n=1)

　　an=sn-s(n-1)(n≥2)

　　4.等比數(shù)列性質(zhì)

　　(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq；

　　(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

　　(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1，2，…，n}

　　(4)等比中項(xiàng)：q、r、p成等比數(shù)列，則aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底指數(shù)冪后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

　　(5)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

　　(6)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q’(n-m)

　　(7)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)a1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

篇14：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　1、函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對應(yīng)定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2，當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

　　⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路

　　ⅰ在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。

　　ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并進(jìn)行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾��?fù)的形式。

　　ⅲ判斷變形后的表達(dá)式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調(diào)性。

　　⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

　　復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律為“同增異減”；多個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。

　　⑶注意事項(xiàng)

　　函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。

　　2、函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性

　　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù)；

　　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。

　　⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)

　　ⅰ無論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱。

　　ⅱ奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。

　　⑵函數(shù)奇偶性判斷思路

　　ⅰ先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為非奇非偶函數(shù)。

　　ⅱ確定f(x) 和f(-x)的關(guān)系：

　　若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù)；

　　若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。

　　3、函數(shù)的最值問題

　　⑴對于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。

　　⑵對于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫出圖像，從圖像中觀察最值。

　　⑶關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題

　　ⅰ判斷二次函數(shù)的頂點(diǎn)是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接ⅱ，若不在區(qū)間內(nèi)，則接ⅲ。

　　ⅱ 若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時(shí)，頂點(diǎn)為最小值，a<0時(shí)頂點(diǎn)為最大值；后判斷區(qū)間的兩端點(diǎn)距離頂點(diǎn)的遠(yuǎn)近，離頂點(diǎn)遠(yuǎn)的端點(diǎn)的函數(shù)值，即為a>0時(shí)的最大值或a<0時(shí)的最小值。

　　ⅲ 若二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性

　　若函數(shù)在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b)；

　　若函數(shù)在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。

　　注意：⑴由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間[a，b]上，指數(shù)函數(shù)的最值為：

　　a>1時(shí)，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時(shí)，最小值f(b)，最大值f(a)。

　　⑵ 對于任意指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

　　3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。

　　⑴所有冪函數(shù)都在(0，+∞)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定點(diǎn)(1，1)。

　　⑵a>0時(shí)，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)，且在(0，+∞)區(qū)間為增函數(shù)，a越大，圖像坡度越大。

　　⑶a<0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)區(qū)間為減函數(shù)。

　　當(dāng)x從右側(cè)無限接近原點(diǎn)時(shí)，圖像無限接近y軸正半軸；

　　當(dāng)y無限接近正無窮時(shí)，圖像無限接近x軸正半軸。

　　冪函數(shù)總圖見下頁。

　　4、反函數(shù)：將原函數(shù)y=f(x)的x和y互換即得其反函數(shù)x=f-1(y)。

　　反函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱。



篇15：高中數(shù)學(xué)必修四核心知識點(diǎn)精講

　　高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)直線和平面的位置關(guān)系：

　　直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

　　①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

　　②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

　　直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。

　　esp.空間向量法(找平面的法向量)

　　規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角

　　由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]

　　最小角定理：斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

　　三垂線定理及逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線，與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

　　esp.直線和平面垂直

　　直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

　　直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

　　直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

　　③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)

　　直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。

　　直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

　　直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。