數學學習：提升思維水平的方法

數學教學的根本目標是提高學生的思維水平。強化解題的思路分析是提高學生思維水平的根本途徑。復習中，應通過強化解題思路分析，一方面復習解決問題的基本方法，另一方面進一步教會學生如何思考。

例1證明“三角形三條中線交于一點”。（詳見“朱晨菲.基于波利亞‘怎樣解題表’的一個操作性分解——以證明‘三角形三條中線交于一點’

【分析】

解決一個數學問題通常分三步：第一步，轉化問題——確定解決問題的方向，重新表述問題，并進一步明確問題的條件和結論；第二步，回憶方法——解決同類問題有哪些方法；第三步，嘗試解決——分別用已有的方法進行嘗試，直至解決問題。

第一步，轉化問題：證明三角形兩條中線的交點在第三條中線上。如圖1，進一步明確問題的條件和結論：

條件：線段BE、CF分別是AC、AB邊上的中線，BE、CF交于點O。

AD是BC邊上的中線，AD與BE的交點O′與O是同一點；

或AO的延長線與BC的交點G是BC的中點；

或AD是BC邊上的中線，A、O、D三點共線。

圖1

【思路一】證明“AD與BE的交點O′與O是同一點”。

第二步，回憶方法：

若證明“AD與BE的交點O′與O是同一點”，一般采用“同一法”。

第三步，嘗試解決：（證明略）

利用“同一法”證明AD與BE的交點O′和BE、CF的交點O是同一點。

思路：同一點意味什么？→在同一線段中擔當角色相同→在BE中擔當角色相同。

【思路二】證明“AO的延長線與BC的交點G是BC的中點”，即證明：BG=CG。

第二步，回憶方法：

若證明“AO的延長線與BC的交點G是BC的中點”，即證明：BG=CG。

證明兩條線段相等，可用的方法有：（有些根據題目的條件即刻就可否定）

全等三角形；

相似三角形；

線段垂直平分線；（×）

角平分線；（×）

圓；（×）

平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）（×）

等腰三角形；

三角形的中位線；

面積相等的三角形若高相等則底相等；

等量代換；

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（×）

第三步，嘗試解決：（證明略）

（1）利用“全等三角形”證明AO延長線與BC的交點G是BC的中點，即證BG=CG。

思路：原圖中有沒有全等？→沒有，要構造。

（2）利用“面積相等的三角形若高相等則底相等”證明AO延長線與BC的交點G是BC的中點，即證BG=CG。

（3）利用“相似三角形”證明AO延長線與BC的交點G是BC的中點，即證BG=CG。

思路：利用相似證明BG=CG就是要證明什么？→BG∶CG=1∶1。

（4）利用“平行四邊形”證明AO延長線與BC的交點G是BC的中點，即證BG=CG。

思路：平行四邊形中同一直線上的相等關系可能出現在哪里？→對角線互相平分。

【思路三】證明“A、O、D三點共線”。

第二步，回憶方法：

若證明“A、O、D三點共線”，即證明：

∠AOD=180°（×）

或OA、OD在一條直線上。

證明兩條線段在同一條直線上，可用的方法有：（有些根據題目的條件即刻就可否定）

過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

等腰三角形三線合一；（×）

面積為0。（×）

第三步，嘗試解決：（證明略）

利用“過一點有且只有一條直線與已知直線平行”證明A、O、D三點共線，即證OA、OD在一條直線上。

思路：OA、OD可能平行于哪條直線？→取OC的中點Q，連結DQ、EQ，都平行于EQ。