中考數學復習三角形的垂心性質與應用

在中考數學的復習中，三角形的垂心是一個重要的知識點，它不僅涉及到三角形的幾何性質，還與三角函數、圓等相關知識緊密相連。本文將詳細介紹三角形的垂心性質，并通過例題分析展示其在解題中的應用。

一、三角形的垂心定義與性質

1. 垂心的定義：在三角形ABC中，作頂點A、B、C的垂線，三條垂線的交點O稱為三角形的垂心。

2. 垂心的性質：

(1) 銳角三角形的垂心在三角形內;

(2) 直角三角形的垂心在直角頂點上;

(3) 鈍角三角形的垂心在三角形外。

3. 垂心與內心的關系：三角形的垂心是它垂足三角形的內心;或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心。例如在△ABC中，O是垂心，則O是△ABC垂足三角形△ABCO的內心;同時，O也是△ABC旁心△ABO的垂心。

4. 垂心與外接圓的關系：垂心O關于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓圓上。

5. 四點共圓與直角三角形的關系：△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)的直角三角形。

6. 垂心組的定義：H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心，這樣的四點為一組垂心組。

7. 外接圓的性質：△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。

8. 垂心與三角形三邊的關系：在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP?tanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。

9. 垂心與外心、內切圓的關系：三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10. 垂心與內切圓的關系：銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。

11. 垂心與內接三角形的性質：銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心;銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。

二、西姆松定理與西姆松線

西姆松(Simson)定理(西姆松線)：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上。這個定理在解決幾何問題時非常有用，特別是在確定點與線之間的關系時。

三、垂心在解題中的應用

下面通過幾個例題來展示垂心性質的應用：

例題1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC的中點，延長AD交BC于E，求證：AE=2BD。

證明：在△ABC中，O為垂心，連接OD。由于D為BC的中點，所以OD⊥BC。

在△AOD和△COE中，

∠AOD=∠COE=90°，

∠AOE=∠BAC+∠ACO=60°，

∠DOA=∠EOC=∠BAC/2=60°，

因此，△AOD△COE(等角對等邊)，

所以AE=2OD。

在△ABC中，由于AB=AC，所以∠B=∠C。

因此，∠BAC/2=∠B=∠C，

即∠BAC=2∠B=2∠C。

在△BOD和△COD中，

∠BOD=∠COD=∠

在△BOD和△COD中，

∠BOD=∠COD=∠BAC/2=60°，

因此，△BOD△COD(等角對等邊)，

所以BD=OD。

AE=2OD=2BD，即證。

例題2：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC的中點，延長AD交BC于E，求證：AE⊥BC。

證明：在△ABC中，O為垂心，連接OD。由于D為BC的中點，所以OD⊥BC。

在△AOD和△COE中，

∠AOD=∠COE=90°，

∠AOE=∠BAC+∠ACO=60°，

∠DOA=∠EOC=∠BAC/2=60°，

因此，△AOD△COE(等角對等邊)，

所以AE=2OD。

在△BOD和△COD中，

∠BOD=∠COD=∠BAC/2=60°，

因此，△BOD△COD(等角對等邊)，

所以BD=OD。

由于AE=2OD，所以AE⊥BC，即證。

通過上述例題可以看出，掌握三角形的垂心性質可以幫助我們更有效地解決幾何問題，尤其是在處理三角形的內接、外接圓以及與直角三角形相關的問題時。