比歐洲早了一千年！這道出自北魏的“百雞問題”，至今仍是數學思維訓練的絕佳素材

【來源：易教網 更新時間：2026-03-09】

中國古代數學的智慧之光

很多同學在提到數學史的時候，腦海里首先浮現的往往是阿基米德、牛頓或者高斯這些西方巨匠的名字。大家普遍認為，現代數學體系建立在西方的邏輯基石之上。然而，當我們翻開厚重的歷史典籍，回望那個群星璀璨的東方世界，會發現我們的祖先在數學領域同樣取得了令世人驚嘆的成就。

在那個沒有計算機、沒有現代代數符號的年代，中國古代數學家憑借卓越的洞察力和嚴密的邏輯思維，解決了一個又一個復雜的難題。

今天，我們要聊的一位主人公，他是南北朝時期北魏的著名數學家，生活在大約公元5世紀。他自幼聰穎過人，酷愛算術，將自己的一生都奉獻給了數學研究。他在數學理論上的造詣極深，尤其在不定方程領域有著獨到的見解。他就是張邱建。

他留下的著作《張邱建算經》，是中國古代數學史上一顆璀璨的明珠，也是世界數學寶庫中一份珍貴遺產。

走進《張邱建算經》的世界

《張邱建算經》全書共分三卷，其體例采用了當時常見的問答式。翻開書卷，你會發現書中條理精密，文詞古雅，展現了中國古代數學特有的魅力。現傳本收錄了92個數學問題，內容涵蓋了廣泛的知識領域。

這本書的成就非常突出，書中詳細論述了最大公約數與最小公倍數的計算方法，總結了解決各種等差數列問題的通法，并且深入探討了某些不定方程的求解策略。這些問題在當時極具挑戰性，即便是放在今天，其背后的邏輯依然值得我們深思。

后世許多大學者都對這部作品推崇備至。北周的甄鸞、唐代的大數學家李淳風都曾先后為《張邱建算經》作注。李淳風大家都很熟悉，他曾參與編纂《算經十書》，對中國古代數學的整理和傳播做出了不可磨滅的貢獻。這也從側面印證了張邱建工作的價值。

震驚世界的“百雞問題”

在《張邱建算經》眾多的問題中，最負盛名、影響最深遠的，當屬卷末的“百雞問題”。這是一個關于三元一次不定方程的世界級難題，也是中國古代數學史上最經典的題目之一。

題目原文是這樣的：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”

用我們現代的白話文來解釋，題目說的是：公雞每只五元錢，母雞每只三元錢，小雞三只值一元錢。現在你有一百元錢，想要正好買到一百只雞，請問公雞、母雞、小雞各應該買多少只？

這道題看似簡單，實則暗藏玄機。如果我們用現代的代數方法來設未知數，設公雞的數量為 \( x \)，母雞的數量為 \( y \)，小雞的數量為 \( z \)，那么就可以列出下面的方程組：

\[ \begin{cases}x + y + z = 100 \quad \text{(雞的總數)} \\5x + 3y + \frac{1}{3}z = 100 \quad \text{(錢的總數)}\end{cases} \]

這是一個包含三個未知數的方程組，但只有兩個獨立的方程。在數學上，我們把這類方程組稱為“不定方程”。通常情況下，未知數的個數多于方程的個數，方程的解會有無窮多組。但是，在這個具體問題中，雞的數量必須是正整數，或者至少是非負整數。這就給問題加上了嚴格的限制條件。

探尋不定方程的解法

張邱建在書中不僅提出了問題，還給出了完整的解題思路和答案。他給出的答案有三組：

公雞4只，母雞18只，小雞78只；

公雞8只，母雞11只，小雞81只；

公雞12只，母雞4只，小雞84只。

那么，古人是如何推導出這些答案的呢？張邱建在書中給出了著名的“術文”：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每增三，即得。”

這句話極其精煉，道出了這組解的變化規律。意思是說，如果公雞的數量增加4只，那么母雞的數量就要減少7只，同時小雞的數量增加3只，這樣依然滿足“百錢買百雞”的條件。我們可以用數學公式來驗證這個規律。

設一組解為 \( (x, y, z) \)，變化后的解為 \( (x', y', z') \)。根據張邱建的描述：

\[ x' = x + 4 \]

\[ y' = y - 7 \]

\[ z' = z + 3 \]

我們來驗證一下總數是否還是100：

\[ x' + y' + z' = (x + 4) + (y - 7) + (z + 3) = (x + y + z) + (4 - 7 + 3) = 100 + 0 = 100 \]

再驗證一下總錢數是否還是100：

\[ 5x' + 3y' + \frac{1}{3}z' = 5(x + 4) + 3(y - 7) + \frac{1}{3}(z + 3) \]

\[ = (5x + 3y + \frac{1}{3}z) + (20 - 21 + 1) \]

\[ = 100 + 0 = 100 \]

通過驗證，我們可以清楚地看到，這個規律完全成立。這種通過觀察整數解的變化規律來求解的方法，體現了中國古代數學極高的算法化思想。

如果我們嘗試用現代代數方法去解這個方程組，也會得到類似的結果。首先，我們可以把第二個方程兩邊都乘以3，消去分母：

\[ 15x + 9y + z = 300 \]

然后用這個式子減去第一個方程 \( x + y + z = 100 \)：

\[ (15x + 9y + z) - (x + y + z) = 300 - 100 \]

\[ 14x + 8y = 200 \]

將方程兩邊同時除以2，進行化簡：

\[ 7x + 4y = 100 \]

接下來，我們可以將方程變形，用一個變量來表示另一個變量。比如解出 \( y \)：

\[ 4y = 100 - 7x \]

\[ y = 25 - \frac{7}{4}x \]

由于 \( y \) 代表的是母雞的數量，它必須是一個非負整數。這意味著 \( 25 - \frac{7}{4}x \) 必須是整數。因此，\( \frac{7}{4}x \) 必須是整數，又因為7和4互質，所以 \( x \) 必須是4的倍數。

同時，\( y \ge 0 \)，所以：

\[ 25 - \frac{7}{4}x \ge 0 \]

\[ \frac{7}{4}x \le 25 \]

\[ 7x \le 100 \]

\[ x \le \frac{100}{7} \approx 14.28 \]

綜合以上條件，\( x \) 是4的倍數，且 \( x \) 小于等于14。那么 \( x \) 可能的取值只有：0, 4, 8, 12。

讓我們分別代入計算：

1. 當 \( x = 0 \) 時，\( y = 25 \)，此時 \( z = 100 - 0 - 25 = 75 \)。這是一組整數解，但在古代語境下，通常認為只買一種或兩種雞的情況較為特殊，張邱建給出的解主要集中在正整數解上。

2. 當 \( x = 4 \) 時，\( y = 25 - 7 = 18 \)，\( z = 100 - 4 - 18 = 78 \)。這就是張邱建給出的第一組解。

3. 當 \( x = 8 \) 時，\( y = 25 - 14 = 11 \)，\( z = 100 - 8 - 11 = 81 \)。這是第二組解。

4. 當 \( x = 12 \) 時，\( y = 25 - 21 = 4 \)，\( z = 100 - 12 - 4 = 84 \)。這是第三組解。

這種通過整除性和范圍限制來求解的過程，與張邱建的“術文”有著異曲同工之妙，都展現了數學邏輯的嚴密與優美。

領先世界千年的數學成就

“百雞問題”在世界數學史上占有非常重要的地位。它不僅是世界上首次明確提出的三元一次不定方程及其解法，也是中國古代數學在不定方程領域的一個巔峰之作。

這一成就比歐洲同類問題的研究要早一千多年。在歐洲，類似的問題直到公元13世紀才由意大利數學家斐波那契（Fibonacci）在《算盤書》中提及，而系統的解法則到了更晚的時候才逐漸完善。張邱建在公元5世紀就給出了如此精妙的解法，這充分證明了中國古代數學在世界數學發展史上的領先地位。

從宋代到清代，圍繞“百雞問題”的數學研究從未停止，歷代的數學家們對此進行了深入的探討，并取得了許多新的成就。這個問題就像一顆種子，在中國數學的土壤里生根發芽，開出了絢爛的花朵。

培養數學思維的重要性

今天，我們重讀“百雞問題”，重溫張邱建的數學成就，目的絕不僅僅是為了發思古之幽情。對于現在的家長和同學來說，這段歷史有著更為現實的教育意義。

K12階段的數學學習，往往容易陷入刷題的怪圈。很多孩子習慣了套公式、背題型，一旦遇到題目條件稍有變化，或者像“百雞問題”這樣需要多步邏輯推理的不定方程，就會感到手足無措。

學習不定方程，能夠極大地鍛煉孩子的邏輯思維能力和抽象概括能力。它要求孩子不僅要會算，更要會思考。在未知數多于方程數的情況下，如何尋找突破口？如何利用“整數解”這一隱含條件？這種觀察、分析、推理的過程，正是數學思維的核心所在。

我們在輔導孩子學習時，可以適當引入一些數學史上的經典名題。這些題目歷經千百年時光的洗禮，依然散發著智慧的光芒。它們不僅能激發孩子學習數學的興趣，更能讓孩子在解題過程中，感受到前人的智慧，建立起對數學學科的敬畏和熱愛。

張邱建和他的《張邱建算經》，是中國數學史上的一座豐碑。“百雞問題”以其獨特的魅力，跨越了時空的阻隔，連接著古代與現代。它告訴我們，數學追求真理，數學創造智慧。

希望每一位同學在今后的學習中，都能像張邱建那樣，保持一顆好奇心，勇于探索，敢于鉆研。在面對難題時，多一份思考，多一份耐心。數學的世界廣闊無垠，還有無數的奧秘等待著你們去發現。讓我們一起在數學的海洋中，乘風破浪，揚帆遠航。