孩子總搞不清“誰比誰多幾“？小學數學這個坎兒，家庭輔導的關鍵一步多數家長都忽略了

卡文迪許的扭稱裝置

簡 介：萬有引力定律(Law of universal gravitation)是艾薩克·牛頓在16于《自然哲學的數學原理》上發表的。牛頓的普適萬有引力定律表示如下：任意兩個質點通過連心線方向上的力相互吸引。

該引力的大小與它們的質量乘積成正比，與它們距離的平方成反比，與兩物體的化學本質或物理狀態以及中介物質無關。

萬有引力定律是解釋物體之間的相互作用的引力的定律。是物體（質點）間由于它們的引力質量而引起的相互吸引力所遵循的規律。是牛頓在前人（開普勒、胡克、雷恩、哈雷）研究的基礎上，憑借他超凡的數學能力證明，在16于《自然哲學的數學原理》上發表的。

在高中階段主要是用了簡化的思想，把行星運動軌道由橢圓簡化為圓下證明。具體證明可以參考《普通高中課程標準實驗教科書》物理高一第六章 萬有引力定律 p97-107或《普通高中課程標準實驗教科書》物理高一必修2教材p36-37。萬有引力定律的發現，是17世紀自然科學最偉大的成果之一。

定律內容：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小與兩物體的質量的乘積成正比，與兩物體間距離的平方成反比。

公式表示：F=G*M1M2/（R*R） （G=6.67×10^-11N•m^2/kg^2）F: 兩個物體之間的引力G: 萬有引力常數m1: 物體1的質量m2: 物體2的質量r: 兩個物體之間的距離依照國際單位制，F的單位為牛頓(N)，m1和m2的單位為千克(kg)，r 的單位為米(m)，常數G近似地等于6.67×10-11次方N·m2㎏-2次方（牛頓米的平方每千克的平方）。

可以看出排斥力F一直都將不存在，這意味著凈加速度的力是絕對的。

（這個符號規約是為了與庫侖定律相容而訂立的，在庫侖定律中絕對的力表示兩個電子之間的排斥力。）適用范圍:兩個可以視為質點的物體之間，或者是兩個均勻球之間。意義：萬有引力定律的發現，是17世紀自然科學最偉大的成果之一。

它把地面上物體運動的規律和天體運動的規律統一了起來，對以后物理學和天文學的發展具有深遠的影響。它第一次解釋了（自然界中四種相互作用之一）一種基本相互作用的規律，在人類認識自然的歷史上樹立了一座里程碑。萬有引力定律揭示了天體運動的規律，在天文學上和宇宙航行計算方面有著廣泛的應用。

它為實際的天文觀測提供了一套計算方法，可以只憑少數觀測資料，就能算出長周期運行的天體運動軌道，科學史上哈雷彗星、海王星、冥王星的發現，都是應用萬有引力定律取得重大成就的例子。利用萬有引力公式，開普勒第三定律等還可以計算太陽、地球等無法直接測量的天體的質量。

牛頓還解釋了月亮和太陽的萬有引力引起的潮汐現象。

他依據萬有引力定律和其他力學定律，對地球兩極呈扁平形狀的原因和地軸復雜的運動，也成功的做了說明。推翻了古人類認為的神之引力。重力加速度：令a1為事先已知質點的重力加速度。

由牛頓第二定律知， 即。取代前面方程中的F同理亦可得出a2.依照國際單位制，重力加速度（同其他一般加速度）的單位被規定為米每平方秒 (m/s^2 or m s^−2)。非國際單位制的單位有伽利略、單位g（見后）以及 英尺每秒的平方。

請注意上述方程中的a1，質量m1的加速度，在實際上并不取決于m1的取值。因此可推論出對于任何物體，無論它們的質量為多少，它們都將按照同樣的比率向地面墜落（忽略空氣阻力）。

如果物體運動過程中r只有極微小的改變——譬如地面附近的自由落體運動——重力加速度將幾乎保持不變（參看條目地心引力）。

而對于一個龐大物體，由于r的變化導致的不同位點所受重力的變化，將會引起巨大而可觀的潮汐力作用。具有空間廣度的物體：如果被討論的物體具有空間廣度（遠大于理論上的質點），它們之間的萬有引力可以以物體的各個等效質點所受萬有引力之和來計算。

在極限上，當組成質點趨近于“無限小”時，將需要求出兩物體間的力（矢量式見下文）在空間范圍上的積分。

從這里可以得出：如果物體的質量分布呈現均勻球狀時，其對外界物體施加的萬有引力吸引作用將同所有的質量集中在該物體的幾何中心原理時的情況相同。（這不適用于非球狀對稱物體）。

矢量式：地球附近空間內的重力示意圖：在此數量級上地球表面的彎曲可被忽略不計，因此力線可以近似地相互平行并且指向地球的中心牛頓萬有引力定律亦可通過矢量方程的形式進行表述而用以計算萬有引力的方向和大小。

在下列公式中，以粗體顯示的量代表矢量。

其中：F12: 物體1對物體2的引力G: 萬有引力常數m1與m2: 分別為物體1和物體2的質量r21 = | r2 − r1 |: 物體2和物體1之間的距離r21= r1+r2 物體2和物體1之間的距離: 物體1到物體2的單位矢量可以看出矢量式方程的形式與之前給出的標量式方程相類似，區別僅在于在矢量式中的F是一個矢量，以及在矢量式方程的右端被乘上了相應的單位向量。

而且，我們可以看出：F12 = − F21.同樣，重力加速度的矢量式方程與其標量式方程相類似：萬有引力與重力1；重力是由于地球的吸引而產生的，但能否說萬有引力就是重力呢？分析這個問題應從地球自轉入手。

由于地球自轉，地球上的物體隨之做圓周運動，所受的向心力F1=mrw^2=mRw^2cosa,F1是引力F提供的，它是F的一個分力，cosa是引力F與赤道面的夾角的余弦值，F的另一個分力F2就是物體所受的重力，即F2=mg。

由此可見，地球對物體的萬有引力是物體受到重力的原因，但重力不完全等于萬有引力，這是因為物體隨地球自轉，需要有一部分萬有引力來提供向心力。2；重力與萬有引力間的大小關系

（1）重力與緯度的關系在赤道上滿足mg=F-F向（物體受萬有引力和地面對物體的支持力Fn的作用，其合力充當向心力，Fn的大小等于物體的重力的大小）。在地球兩極處，由于F向=0，即mg=F，在其他位置，mg、F與F向 間符合平行四邊形定則。同一物體在赤道處重力最小，并隨緯度的增加而增大。

（2）重力、重力加速度與高度的關系在距地面高度為h的高處，若不考慮地球自轉的影響時，則mg'=F=GMm/(R+h)^2；

而在地面處mg=GMm/R^2.距地面高為h處，其重力加速度g'=GM/(R+h)^2,在地面處g=GM/R^2.在距地面高度為h的軌道上運行的宇宙飛船中，質量為m的物體的重力即為該處受到的萬有引力，即mg'=GmM/(R+h)^2，但無法用測力計測出其重力。

萬有引力與勻速圓周運動一個天體環繞另一個中心天體做勻速圓周運動。其向心力由萬有引力提供。

即F引=GMm/r^2≈mg=ma向，而a向=v^2/r=w^2r=vw=(4π^2/T^2)r=4π^2f^2r，因此應用萬有引力定律解決天體的有關問題，主要有以下幾個度量關系：F引=GMm/r^2(r為軌道半徑）=mg=ma向=mv^2/r=mw^2r=m(4π^2/T^2)r=m4π^2f^2r.重力場：球狀星團 M13 證明重力場的存在。

重力場是用于描述在任意空間內某一點的物體每單位質量所受萬有引力的矢量場。而在實際上等于該點物體所受的重力加速度。

以下是一個普適化的矢量式，可被應用于多于兩個物體的情況（例如在地球與月球之間穿行的火箭）的計算。對于兩個物體的情況（比如說物體1是火箭，物體2是地球）來說，我們可以用 替代并用m替代m1來將重力場表示為：因此我們可以得到：該公式不受產生重力場的物體的限制。重力場的單位為力除以質量的單位；

在國際單位制上，被規定為N·kg−1（牛頓每千克）。

牛頓理論存在的問題：盡管牛頓對重力的描述對于眾多實踐運用來說十分地精確，但它也具有幾大理論問題且被證明是不完全正確的。理論問題：沒有任何征兆表明重力的傳送媒介可以被識別出，牛頓自己也對這種無法說明的超距作用感到不滿意（參看后文條目“牛頓定律的局限性”）。

牛頓的理論需要定義重力可以瞬時傳播。

因此給出了古典自然時空觀的假設，這樣亦能使約翰內斯·開普勒所觀測到的角動量守恒成立。但是，這與愛因斯坦的狹義相對論理論有直接的沖突，因為狹義相對論定義了速度的極限——真空中的光速——在此速度下信號可以被傳送。

觀測結果的不符：牛頓的理論并不能完全地解釋出水星在沿其軌道運動到近日點時出現的進動現象進動。

牛頓學說的預言（由其它行星的重力拖曳產生）與實際觀察到的進動相比每世紀會出現43弧秒的誤差。牛頓的理論預言的重力作用下光線的偏折只有實際觀測結果的一半。廣義相對論則與觀察結果更為接近。

所有物體的重力質量與慣性質量相同的這一觀測現象是牛頓的系統所不能解釋的。廣義相對論則將它作為一個基本條件。參看條目等效原理。

牛頓定律的局限性：當牛頓非凡的工作使萬有引力定律能夠為數學公式所表示后，他仍然不滿于公式中所隱含的“超距作用”觀點。他從來沒有在他的文字中“賦予產生這種能力的原因”。

在其它情況下，他使用運動的現象來解釋物體受到不同力的作用的原因，但是對于重力這種情況，他卻無法用實驗方法來確認運動產生了重力。

此外，他甚至還拒絕對這個由地面產生的力的起因提出假設，而這一切都違背了科學證據的原則。牛頓的經典力學知適用于低速、宏觀、弱引力，而不適用于高速、微觀與強引力。

牛頓對重力的發現埋葬了“哲學家至今仍在愚蠢地試圖探索自然”(philosophers have hitherto attempted the search of nature in vain)這句所謂的真理，就同他深信著的“有各種因素”使得“各種迄今未知的原因”是所有“自然現象”的基礎。

這些基本的現象至今仍在研究中，而且，雖然存在著許多種的假設，最終答案仍然沒有找出。雖然愛因斯坦的假設的確比牛頓的假設更能精確地解釋確定案例中萬有引力的作用效果，但是他也從來沒有在他的理論中為這種能力賦予一個原因。

在愛因斯坦的方程式中，“物質告訴空間怎么扭曲，空間告訴物質怎么移動”(matter tells space how to curve, and space tells matter how to move)，但是這個完全異于牛頓世界的新的思想，也不能使愛因斯坦所賦予“產生這種能力的原因”比萬有引力定律使牛頓所賦予的原因更能使空間產生扭曲。

牛頓自己說：我還沒有能力去從現象中發現產生這些重力特性的原因，而且我無法臆測……我所解釋的定律和豐富的天體運動的計算已經足夠于說明重力的確存在并能產生效果。

一個物體可以不通過任何介質穿過真空間的距離對另一個物體產生作用，在此之上它們的活動和力可以傳送自對方，這對于我來說簡直就是一個天大的謬論。因此，我相信，任何有足夠的哲學思維能力的人都不會沉溺于此。

如果科學最終能夠發現重力產生的原因的話，牛頓的希望也將最終被實現。需要注意的是，牛頓在推出萬有引力定律的同時，并沒能得出引力常量G的具體值。G的數值于17由卡文迪許利用他所發明的扭秤得出。

卡文迪許的扭秤試驗，不僅以實踐證明了萬有引力定律，同時也讓此定律有了更廣泛的使用價值。卡文迪許測出的G=6.7*10^-11 N*m^2/kg^2,與現在的公認值6.67×10^-11N*m^2/kg^2極為接近；直到19（1之后）G的測量精度還保持在卡文迪許的水平上。

提出日期167月5日