高中數學計數問題的實用解法

【來源：易教網 更新時間：2025-10-12】

高中數學中的計數問題，常出現在選擇題和填空題中，題量小、分值高，速度和準確率直接影響整體成績。很多學生不是不會，而是方法混亂，耗時長，易出錯。下面直接講清楚幾種實用技巧，不繞彎子，能用上就行。

一、模型化思維：看到問題，立刻分類

遇到“選人”“排位”“分組”這類問題，別急著列式，先判斷是排列還是組合。

- 選3人參加比賽，不考慮順序 → 用組合 C(5,3) = 10。

- 選3人分別擔任班長、副班長、學習委員 → 順序重要 → 用排列 A(5,3) = 60。

有附加條件？直接在模型里扣掉。

- 甲必須參加 → 剩下4人選2人 → C(4,2) = 6。

- 乙不能參加 → 從剩下4人中選3人 → C(4,3) = 4。

模型清晰，計算一步到位。不需要畫圖，不需要枚舉。每天練3道這類題，一個月后看到題就能反應出該用哪個公式。

二、加法與乘法：分清“或”和“且”

加法原理：多個獨立路徑，選一個就行 → 加。

- 從北京到上海：4個航班 或 3趟高鐵 → 4 + 3 = 7 種方式。

- 求從A到C的路徑：A→B→C 有3條，A→D→C 有2條 → 3 + 2 = 5 條。

乘法原理：必須一步步完成 → 乘。

- 上衣3件，褲子2條 → 3 × 2 = 6 種搭配。

- 從家到學校有2條路，學校到圖書館有4條路 → 2 × 4 = 8 種走法。

關鍵：看是不是“必須全部完成”。如果是“選一條路”，用加法；如果是“先選路再選車”，用乘法。

三、三種高頻技巧：排除、插空、捆綁

1. 排除法：正難則反

“至少一個”“不全不”這類題，直接算反面更省事。

- 3次射擊，每次命中概率獨立，求至少命中1次。

- 不如算：全不中的概率 = (1-p)，再用 1 - (1-p)。

- 題目沒給概率？換成具體數字：3次投籃，每次投不中的概率是0.5，求至少進1球 → 1 - (0.5) = 1 - 0.125 = 0.875。

不用列所有命中情況，省時間，少出錯。

2. 插空法：不相鄰就先排別人

題目：4個男生和3個女生站一排，女生不能相鄰。

步驟：

- 先排男生：4個人全排列 → A(4,4) = 24 種。

- 男生站好后，形成5個空位（前后和中間）：_ M _ M _ M _ M _

- 在5個空位中選3個放女生 → C(5,3) = 10。

- 女生內部可互換 → A(3,3) = 6。

總數：24 × 10 × 6 = 1440 種。

記住：先排多的，再把少的插進空里。女生少，就插在男生之間。

3. 捆綁法：必須在一起就當成一個

題目：甲乙必須相鄰，5人排隊。

步驟：

- 把甲乙捆成一個“大元素” → 現在有4個元素排列（甲乙、丙、丁、戊）→ A(4,4) = 24。

- 甲乙內部可以互換 → 2種順序。

- 總數：24 × 2 = 48。

同理，三人必須相鄰 → 捆成一個，內部排列 A(3,3) = 6，再乘外部排列。

四、常見錯誤，別踩坑

1. 排列和組合分不清

排隊是排列，選代表是組合。記不住就問自己：換順序算不算不同？算，就是排列；不算，就是組合。

2. 重復計數

分組題容易多算。比如：把6人分成兩組，每組3人。

錯誤做法：C(6,3) = 20，以為就是答案。

正確：C(6,3) / 2 = 10，因為選A組和選B組是同一組分法，重復了一次。

3. 忽略隱含條件

“數字不能重復”“首位不能為0”“偶數”“不能相鄰”——這些詞不是裝飾，是限制。每次做題，先圈出關鍵詞。

五、怎么練？

每天練3道題，不用多。

- 第1題：選代表，有無限制？

- 第2題：排隊，誰必須在一起？

- 第3題：至少……，反著算。

做完后，問自己：

- 用了哪個模型？

- 是加法還是乘法？

- 有沒有重復或遺漏？

- 有沒有更簡單的方法？

錯題本不抄題，只記：錯在哪？怎么改？

比如：

> 錯題：5人排成一排，甲乙不相鄰，算成 A(5,5) - A(4,4) = 120 - 24 = 96。

> 錯因：沒考慮甲乙捆在一起是2種，應該減 2×A(4,4)=48 → 正確是 120 - 48 = 72。

堅持兩周，你會發現自己看到計數題，腦子里自動跳出模型，不用猶豫，直接列式。

高考選填題每題控制在1分鐘內完成，計數題是突破口。別靠感覺，靠模型。模型清，速度就快；方法對，錯誤就少。

別迷信技巧，技巧是建立在理解上的。理解了加法乘法的本質，插空捆綁就是自然延伸。別背公式，背邏輯。