高中數學中需要背誦的難題有哪些？

題目：已知函數\(f(x)=\ln x + ax^2 - (2a + 1)x\)，\(a\in R\)，求當\(a\gt0\)時，函數\(f(x)\)的單調區間。

解析：首先求導數\(f'(x)=\frac{1}{x} + 2ax - (2a + 1)\)，化簡為\(f'(x)=\frac{2ax^2 - (2a + 1)x + 1}{x}\)，令分子\(2ax^2 - (2a + 1)x + 1 = 0\)，解得\(x_1 = \frac{1}{2}\)，\(x_2 = \frac{1}{2a}\)，當\(0\lt a\lt\frac{1}{2}\)時，\(\frac{1}{2}\lt\frac{1}{2a}\)，\(f(x)\)在\((0,\frac{1}{2})\)和\((\frac{1}{2a},+\infty)\)上單調遞增，在\((\frac{1}{2},\frac{1}{2a})\)上單調遞減；

當\(a=\frac{1}{2}\)時，\(f'(x)=\frac{(x - 1)^2}{x}\geq0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增；

當\(a\gt\frac{1}{2}\)時，\(0\lt\frac{1}{2a}\lt\frac{1}{2}\)，\(f(x)\)在\((0,\frac{1}{2a})\)和\((\frac{1}{2},+\infty)\)上單調遞增，在\((\frac{1}{2a},\frac{1}{2})\)上單調遞減。

2、圓錐曲線類

題目：已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1\)、\(F_2\)，過點\(F_2\)作直線\(l\)交橢圓于\(A\)、\(B\)兩點，若\(\triangle ABF_1\)的周長為\(8\)，且橢圓的離心率為\(\frac{1}{2}\)，求橢圓的標準方程。

解析：根據橢圓的定義可知，\(\triangle ABF_1\)的周長為\(4a = 8\)，(a = 2\)，又因為離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，(c = 1\)，則\(b^2 = a^2 - c^2 = 3\)，所以橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。

3、數列類

題目：已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，且\(a_1 = 1\)，\(S_3 = 9\)，求數列\(\{a_n\}\)的通項公式。

解析：由等差數列的前\(n\)項和公式\(S_n = na_1+\frac{n(n - 1)d}{2}\)，將\(n = 3\)，\(a_1 = 1\)，\(S_3 = 9\)代入可得\(9 = 3×1 +\frac{3×2d}{2}\)，解得公差\(d = 2\)，所以數列\(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n = a_1+(n - 1)d = 1 + (n - 1)×2 = 2n - 1\)。

4、統計與概率類

題目：從數字\(1, 2, 3, 4, 5\)中隨機抽取兩個不同的數字，求這兩個數字之和大于\(6\)的概率。

解析：從數字\(1, 2, 3, 4, 5\)中隨機抽取兩個不同的數字，共有基本事件\(C_5^2 = 10\)個，其中兩個數字之和大于\(6\)的基本事件有\((2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)\)共\(4\)個，所以所求概率為\(\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)。

5、立體幾何類

題目：已知正方體\(ABCD - A_1B_1C_1D_1\)的棱長為\(1\)，點\(E\)是棱\(CC_1\)的中點，求異面直線\(AE\)與\(A_1B\)所成角的大小。

解析：以點\(A\)為坐標原點，分別以\(AB, AD, AA_1\)所在直線為\(x, y, z\)軸建立空間直角坐標系，則\(A=(0,0,0)\)，\(E=(1,1,\frac{1}{2})\)，\(A_1=(0,0,1)\)，\(B=(1,0,0)\)，所以向量\(\overrightarrow{AE}=(1,1,\frac{1}{2})\)，向量\(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)\)，設異面直線\(AE\)與\(A_1B\)所成角為\(\theta\)，則\(\cos \theta=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{A_1B}}{|\overrightarrow{AE}|\cdot |\overrightarrow{A_1B}|}=\frac{1×1 + 1×0 +\frac{1}{2}×(-1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (\frac{1}{2})^2}\times \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}=\frac{1}{3}\)，(\theta=\arccos \frac{1}{3}\)。