高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

【來源：易教網(wǎng) 更新時(shí)間：2008-04-10】 　　在高考中數(shù)列部分的考查既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，不論是選擇題或填空題中對基礎(chǔ)知識的檢驗(yàn)，還是壓軸題中與其他章節(jié)知識的綜合，抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是解題的關(guān)鍵。

　　[b] 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)[/b]：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法，求數(shù)列通項(xiàng)公式常用以下幾種方法：

一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項(xiàng)公式。

　　例：在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。

　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷，是較簡單的基礎(chǔ)小題。


二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，用公式

　　S1 (n=1)

　　Sn-Sn-1 (n2)

　　例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5

　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

　　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)

　　此類題在解時(shí)要注意考慮n=1的情況。


三、已知an與Sn的關(guān)系時(shí)，通常用轉(zhuǎn)化的方法，先求出Sn與n的關(guān)系，再由上面的(二)方法求通項(xiàng)公式。

　　例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

　　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，∴-= -，Sn= -，

　　再用(二)的方法：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-，當(dāng)n=1時(shí)不適合此式，所以，

- (n=1)

- (n2)

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四、用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式

　　對于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式。

　　例：設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

　　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

　　又∵{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個(gè)式子，將其相乘得：∴ -=-，

　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

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五、用構(gòu)造數(shù)列方法求通項(xiàng)公式

　　題目中若給出的是遞推關(guān)系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項(xiàng)公式時(shí)，可以考慮通過變形，構(gòu)造出含有 an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或Sn)與n的關(guān)系，這是近一、二年來的高考熱點(diǎn)，因此既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

　　例：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

　　(1)求{an}通項(xiàng)公式 (2)略

　　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)

　　∴{an--}是首項(xiàng)為a1--，公比為--1的等比數(shù)列。

　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-

　　又例：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。

　　證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數(shù))

　　由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

　　所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列。

　　若將此問改為求an的通項(xiàng)公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項(xiàng)公式，再轉(zhuǎn)化到an的通項(xiàng)公式上來。

　　又例：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項(xiàng)公式。(2)略

　　解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1，公比為--的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(--)n-1