八年級數學下冊復習提綱

【來源：易教網 更新時間：2025-10-11】

一、變量與常量

1、變量：在某一變化過程中，可以取不同的數值，級數值發生變化的量，叫做變量。

常量：在某一變化過程中，取值（數值）始終保持不變的量，叫做常量。

2、注意事項：

（1）常量和變量是相對的，在不同的研究過程中有些是可以相互轉化的；

（2）離開具體的過程抽象地說一個量是常量還是變量是不允許的；

（3）在各種關于變量、常量的例子中，變量之間有一定的依賴關系。如三角形的面積，當底邊一定時，高與面積之間是有關聯的，不是各自隨意變化。

二、函數概念

1、定義：在某個變化過程中，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有的值與其對應，那么，我們就說y是x的函數，其中x叫做自變量，y叫做因變量。

2、對函數概念的理解，主要抓住三點：

（1）有兩個變量；

（2）一個變量的數值隨另一個變量的數值的變化而變化；

（3）自變量每確定一個值，因變量就有一個并且只有一個值與其對應。

三、函數的表示法：（1）列表法；（2）圖象法；（3）解析法。

四、求函數自變量的取值范圍

1．實際問題中的自變量取值范圍

按照實際問題是否有意義的要求來求。

2．用數學式子表示的函數的自變量取值范圍

例1．求下列函數中自變量x的取值范圍

(1)解析式為整式的，x取全體實數；

(2)解析式為分式的，分母必須不等于0式子才有意義；

(3)解析式的是二次根式的被開方數必須是非負數式子才有意義；

(4)解析式是三次方根的，自變量的取值范圍是全體實數。

3．函數值：指自變量取一個數值代入解析式求出的數值，稱為函數值；實際上就是以前學的求代數式的值。

函數的圖象

一、平面直角坐標系

1、定義：平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。其中水平的數軸叫做橫軸（或x軸），取向右為正方向；豎直的數軸叫做縱軸（y軸），取向上為正方向；兩軸的交點O叫做原點。在平面內，原點的右邊為正，左邊為負，原點的上邊為正，下邊為負。

2、坐標平面內被x軸、y軸分割成四個部分，按照“逆時針方向”分別為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限

注意：x軸、y軸原點不屬于任何象限。

3、平面直角坐標系中的點分別向x軸、y軸作垂線段，在x軸上垂足所顯示的數稱為該點的橫坐標，在y軸上垂足所顯示的數稱為該點的縱坐標。點的坐標反映的是一個點在平面內的位置。

寫坐標的規則：橫坐標在前，縱坐標在后，中間用“，”隔開，全部用小括號括起來。

如P（3，2）橫坐標為3，縱坐標為2。

特別注意坐標的順序不同，表示的就是不同位置的點。

所以點的坐標是一對有順序的實數，稱為有序實數對。

4、平面直角坐標系中的點與有序實數對一一對應。

5、坐標的特征

(1)在第一象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是正數；在第二象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是正數；

在第三象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是負數；在第四象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是負數；

(2)x軸上點的縱坐標等于零；y軸上點的橫坐標等于零．

6、對稱點的坐標特征

(1)關于x軸對稱的兩點：橫坐標相同，縱坐標絕對值相等，符號相反；

(2)關于y軸對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標相同；

(3)關于原點對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標也絕對值相等，符號相反。

(4)第一、三象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標相同；

(5)第二、四象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標互為相反數。

7、點到兩坐標軸的距離

點A（a，b）到x軸的距離為|b|，點A（a，b）到y軸的距離為|a|。

二、函數的圖象

1、意義：對于一個函數，如果把自變量x與函數值y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描出相應的點，這些點所組成的圖形，就是這個函數的圖象。

2、作函數圖象的方法：描點法。步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線。

3、一般函數作圖象，要求橫軸和縱軸上的單位長度一定要一致，按照對應的解析式先計算出一對對應值，就是坐標，然后描點，再連線；畫實際問題的圖象時，必須先考慮函數自變量的取值范圍．有時為了表達的方便，建立直角坐標系時，橫軸和縱軸上的單位長度可以不一致。

一次函數

一、一次函數的概念

之所以稱為一次函數，是因為它們的關系式是用一次整式表示的。學習此概念要從兩個方面來理解。

（1）從其表達式上：

一次函數通常是指形如：y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的函數，凡是成這種形式的函數都是一次函數。而當b=0時，即y=kx(k≠0的常數)，則稱為正比例函數，其中k為比例系數。

（2）從其意義上：

它們表示的是兩個變量之間的關系，這種函數關系具有特定的意義，如，如果說兩各變量之間具有一次函數關系，我們就可按照概念設出函數關系式，成正比例關系的也同樣，如，若s與t成正比例關系，我們便可設s=kt（k≠0，t為自變量）

“正比例函數”與“成正比例”的區別：

正比例函數一定是y=kx這種形式，而成正比例則意義要廣泛得多，它反映了兩個量之間的固定正比例關系，如a+3與b-2成正比例，則可表示為：a+3=k（b-2）（k≠0）

二、一次函數的圖象

正比例函數和一次函數的圖象都是一條直線，所以對于其解析式也稱為“直線y=kx+b，直線y=kx”。因為一次函數的圖象是一條直線，所以在畫一次函數的圖象時，只要描出兩個點，在通過兩點作直線即可。

1、畫正比例函數y=kx(k≠0的常數)的圖象時，只需要這兩個特殊點：（0，0）和（1，k）兩點；

2、畫一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的圖象時，只需要找出它與坐標軸的兩個交點即可。一次函數與x軸的交點坐標是：（0，b），與y軸的交點坐標是：（－，0）

3、若兩個不同的一次函數的一次項的系數相同，則這它們的圖象平行。

4、將y=kx的圖象沿著沿著軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|各單位長度即可得到y=kx+b。

5、求兩一次函數的交點坐標：聯立解兩各函數解析式得到的二元一次方程組，求的自變量x的值為交點的橫坐標，求出的y的值為交點的縱坐標。

三、一次函數的性質

一次函數的性質是由k來決定的。

1、正比例函數y=kx(k≠0的常數)的性質

（1）當k>0時，圖象經過一、三象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。

（2）當k<0時，圖象經過二、四象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。

2、一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的性質

（1）當k>0時，①當b>0時，圖象經過一、三、二象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。②當b<0時，圖象經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。

（2）當k<0時，①當b>0時，圖象經過二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。②當b<0時，圖象經過二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。

四、確定正比例函數好一次函數的解析式

1、意義：

（1）確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數y=kx(k≠0的常數)中的常數k；

（2）確定一個一次函數，需要確定一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)中常數k和b。

2、待定系數法

（1）先設待求函數關系式（其中含有未知的系數），再根據條件列出方程或方程組，求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法。

（2）用待定系數法求函數關系式的一般方法：①設出含有待定系數的函數關系式；②把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關于待定系數方程（組）；③解方程（組），求出待定系數；④將求得的待定系數的值代回所設的關系式中，從而確定出函數關系式。

五、一次函數（正比例函數）的應用。與方程的應用差不多，注意審題步驟。

反比例函數

一、反比例函數

1、定義：形如y=(k≠0的常數)的函數叫做反比例函數。

2、對于反比例函數：

（1）掌握其形式y=，且k為常數，同時不能為0；等號左邊是函數y，右邊是一個分式，分子是一個不為0的常數，分母是自變量x，若把反比例函數寫成y=kx-1，則x的系數為-1；自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數，函數y的取值范圍也是不為0的一切實數；

（2）將y=轉化為xy=k，由此可得反比例函數中的兩個變量的積為定值，即某兩個變量的積為一定值時，則這兩個變量就成反比例關系。

（3）“反比例函數”與“成反比例”之間的區別在于，前者是一種函數關系，而后者是一種比例關系，不一定是反比例函數，如說s與t2成反比例，可設為s=(k≠0的常數)，但這顯然不是反比例函數。

二、用待定系數法求反比例函數表達式。由于反比例函數y=中只有一個待定系數，因此只需要一組對應值，即可求k的值，從而確定其表達式。

三、反比例函數的圖象

1、意義：

（1）名稱：雙曲線，它有兩個分支，分別位于一、三或二、四象限；

（2）這兩個分支關于原點成中心對稱；

（3）由于反比例函數自變量x≠0，函數y≠0，所以反比例函數的圖象與x軸和y軸都沒有交點，無限接近坐標軸，永遠不能到達坐標軸。

2、畫法（描點法）：（1）列表。自變量的值應在0的兩邊取值，各取三各以上，共六對互為相反數的數對，填y值時，只需計算出自變量對應的函數值即可。（2）描點：先畫出反比例函數一側（即一個象限內的分支），在對稱地畫出另一側（另一分值）；

（3）連線：按照從左到右的順序用平滑曲線連接各點并延伸，注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不能與坐標軸相交。