初一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)全攻略：掌握這些知識(shí)點(diǎn)，輕松應(yīng)對(duì)考試

【來(lái)源：易教網(wǎng) 更新時(shí)間：2025-09-24】

進(jìn)入初一，數(shù)學(xué)的難度相比小學(xué)階段有了明顯提升，尤其是上冊(cè)內(nèi)容作為初中數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，涵蓋了大量基礎(chǔ)但關(guān)鍵的概念。很多同學(xué)在面對(duì)期末考試時(shí)感到緊張，不知道從哪里開(kāi)始復(fù)習(xí)。其實(shí)，只要理清知識(shí)脈絡(luò)，理解核心概念，再加以適量練習(xí)，就能從容應(yīng)對(duì)考試。

本文將帶你系統(tǒng)梳理初一上冊(cè)數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，幫助你建立清晰的知識(shí)框架，提升學(xué)習(xí)效率。

一、正數(shù)與負(fù)數(shù)：理解“相反意義”的數(shù)學(xué)表達(dá)

我們生活中常常會(huì)遇到具有相反意義的量，比如溫度有零上和零下，收入和支出，向東走和向西走。為了在數(shù)學(xué)中準(zhǔn)確描述這些情況，引入了正數(shù)和負(fù)數(shù)。

- 正數(shù)：大于0的數(shù)，例如 \[ 3 \]、\[ 1.5 \]、\[ \frac{2}{3} \] 都是正數(shù)。

- 負(fù)數(shù)：小于0的數(shù)，例如 \[ -2 \]、\[ -0.8 \]、\[ -\frac{1}{4} \] 都是負(fù)數(shù)。

- 0：它是一個(gè)特殊的數(shù)，既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。

在比較大小時(shí)，我們可以這樣理解：所有正數(shù)都大于0，所有負(fù)數(shù)都小于0，而正數(shù)一定大于負(fù)數(shù)。比如 \[ 2 > -5 \]，即使5比2大，但由于負(fù)號(hào)的存在，\[ -5 \] 實(shí)際上比2小得多。

理解正負(fù)數(shù)的意義，有助于我們更好地理解后面要學(xué)習(xí)的數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值等概念。

二、有理數(shù)：你能“寫(xiě)成分?jǐn)?shù)”的數(shù)都是有理數(shù)

在初一數(shù)學(xué)中，我們接觸到的大部分?jǐn)?shù)都屬于有理數(shù)。有理數(shù)的定義是：可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，也就是形如 \[ \frac{p}{q} \]（其中 \[ q \neq 0 \]）的數(shù)。

有理數(shù)包括：

- 所有整數(shù)：如 \[ 5 \]、\[ 0 \]、\[ -3 \]

- 所有分?jǐn)?shù)：如 \[ \frac{2}{3} \]、\[ -\frac{7}{4} \]

- 有限小數(shù)：如 \[ 0.25 = \frac{1}{4} \]

- 無(wú)限循環(huán)小數(shù)：如 \[ 0.\overline{3} = \frac{1}{3} \]

需要注意的是，像 \[ \pi \]（圓周率）這樣的數(shù)，雖然是無(wú)限小數(shù)，但它是不循環(huán)的，無(wú)法寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)的比，因此不屬于有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)。不過(guò)在初一階段，我們主要研究有理數(shù)。

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。理解這一點(diǎn)，有助于我們?cè)谶M(jìn)行運(yùn)算時(shí)統(tǒng)一處理方式。

三、數(shù)軸：把數(shù)“畫(huà)”在直線上

數(shù)軸是理解有理數(shù)非常重要的工具。它是一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線。

- 原點(diǎn)：代表數(shù)字0的點(diǎn)。

- 正方向：通常向右為正方向，向左為負(fù)方向。

- 單位長(zhǎng)度：用來(lái)衡量數(shù)的大小，比如每1厘米代表1個(gè)單位。

在數(shù)軸上，每一個(gè)有理數(shù)都可以找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。數(shù)軸不僅幫助我們直觀地比較數(shù)的大小（右邊的數(shù)總比左邊的大），還為理解相反數(shù)和絕對(duì)值提供了圖形支持。

相反數(shù)：符號(hào)相反，位置對(duì)稱

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。例如，\[ 3 \] 和 \[ -3 \] 互為相反數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。特別地，0的相反數(shù)仍然是0。

絕對(duì)值：一個(gè)數(shù)“離原點(diǎn)有多遠(yuǎn)”

絕對(duì)值表示一個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離，因此它總是非負(fù)的。

- 正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，如 \[ |5| = 5 \]

- 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，如 \[ |-4| = 4 \]

- 0的絕對(duì)值是0

絕對(duì)值的一個(gè)重要應(yīng)用是比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小。例如，比較 \[ -3 \] 和 \[ -5 \]：雖然 \[ 5 > 3 \]，但 \[ |-5| = 5 > 3 = |-3| \]，而由于它們都是負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，所以 \[ -5 < -3 \]。

四、有理數(shù)的加減法：先定符號(hào)，再算大小

有理數(shù)的加減法是有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，掌握其規(guī)則至關(guān)重要。

加法法則

1. 同號(hào)相加：取相同的符號(hào)，再把絕對(duì)值相加。

例如：\[ (-3) + (-5) = -8 \]，\[ 4 + 6 = 10 \]

2. 異號(hào)相加：取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，再用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

例如：\[ (-7) + 4 = -3 \]，因?yàn)? > 4，符號(hào)取負(fù)，7 - 4 = 3

3. 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0：

例如：\[ 5 + (-5) = 0 \]

4. 任何數(shù)加0，結(jié)果不變：

例如：\[ -2 + 0 = -2 \]

加法運(yùn)算律

- 交換律：\[ a + b = b + a \]

比如 \[ 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1 \]

- 結(jié)合律：\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]

比如 \[ (2 + 3) + (-4) = 2 + (3 + (-4)) = 1 \]

這些運(yùn)算律可以幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

減法：轉(zhuǎn)化為加法

減法可以轉(zhuǎn)化為加法來(lái)處理：

\[ a - b = a + (-b) \]

也就是說(shuō)，減去一個(gè)數(shù)，等于加上它的相反數(shù)。

例如：

\[ 7 - 4 = 7 + (-4) = 3 \]

\[ (-5) - (-3) = (-5) + 3 = -2 \]

掌握了這一點(diǎn)，我們就可以把所有的加減混合運(yùn)算都變成加法運(yùn)算，統(tǒng)一處理。

五、有理數(shù)的乘法：符號(hào)決定正負(fù)，絕對(duì)值相乘

乘法的運(yùn)算規(guī)則如下：

1. 同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，然后把絕對(duì)值相乘。

例如：\[ (-3) \times (-4) = 12 \]，\[ 5 \times (-2) = -10 \]

2. 任何數(shù)與0相乘，結(jié)果都是0。

例如：\[ 0 \times (-7) = 0 \]

3. 倒數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的乘積是1，那么它們互為倒數(shù)。

例如：\[ 2 \] 和 \[ \frac{1}{2} \] 互為倒數(shù)，\[ -3 \] 和 \[ -\frac{1}{3} \] 也互為倒數(shù)。

注意：0沒(méi)有倒數(shù)，因?yàn)槿魏螖?shù)乘以0都不等于1。

乘法運(yùn)算律

- 交換律：\[ ab = ba \]

- 結(jié)合律：\[ (ab)c = a(bc) \]

- 分配律：\[ a(b + c) = ab + ac \]

分配律在化簡(jiǎn)表達(dá)式時(shí)非常有用。例如：

\[ 3 \times (4 + (-2)) = 3 \times 4 + 3 \times (-2) = 12 - 6 = 6 \]

六、有理數(shù)的除法：轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算

除法的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為乘法：

- 除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以它的倒數(shù)。

即：\[ a \div b = a \times \frac{1}{b} \]（其中 \[ b \neq 0 \]）

例如：

\[ 6 \div (-2) = 6 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -3 \]

符號(hào)規(guī)則與乘法相同：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。

另外，0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果都是0。

例如：\[ 0 \div 5 = 0 \]，但 \[ 5 \div 0 \] 是沒(méi)有意義的，因?yàn)?不能做除數(shù)。

七、乘方：求相同因數(shù)的積

乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算。\[ a^n \] 表示 \[ n \] 個(gè) \[ a \] 相乘，其中 \[ a \] 是底數(shù)，\[ n \] 是指數(shù)，結(jié)果叫做冪。

例如：

\[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \]

\[ (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \]

\[ (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \]

注意：

- 負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，如 \[ (-2)^3 = -8 \]

- 負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，如 \[ (-2)^4 = 16 \]

- 0的任何正整數(shù)次冪都是0，如 \[ 0^5 = 0 \]

乘方運(yùn)算在科學(xué)記數(shù)法和后續(xù)學(xué)習(xí)中非常重要。

冪的運(yùn)算性質(zhì)

- 同底數(shù)冪相乘：底數(shù)不變，指數(shù)相加。

\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]

- 同底數(shù)冪相除：底數(shù)不變，指數(shù)相減。

\[ a^m \div a^n = a^{m-n} \]（其中 \[ a \neq 0 \]）

例如：

\[ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \]

\[ 5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625 \]

八、混合運(yùn)算：遵循運(yùn)算順序

有理數(shù)的加減乘除和乘方混合在一起時(shí)，必須按照規(guī)定的順序進(jìn)行：

1. 先算乘方

2. 再算乘除

3. 最后算加減

4. 同級(jí)運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行

5. 如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容，順序是：小括號(hào) → 中括號(hào) → 大括號(hào)

例如：

計(jì)算 \[ 3 + 2 \times (-4)^2 - 6 \div 3 \]

步驟：

1. 先算乘方：\[ (-4)^2 = 16 \]

2. 再算乘除：\[ 2 \times 16 = 32 \]，\[ 6 \div 3 = 2 \]

3. 最后加減：\[ 3 + 32 - 2 = 33 \]

所以結(jié)果是 \[ 33 \]。

嚴(yán)格按照順序運(yùn)算，可以避免出錯(cuò)。

九、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字

在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到非常大或非常小的數(shù)，比如地球的質(zhì)量約為 \[ 5972000000000000000000000 \] 千克。為了方便書(shū)寫(xiě)和計(jì)算，我們使用科學(xué)記數(shù)法。

科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)表示成 \[ a \times 10^n \] 的形式，其中 \[ 1 \leq |a| < 10 \]，\[ n \] 是整數(shù)。

例如：

- \[ 300000 = 3 \times 10^5 \]

- \[ 0.00045 = 4.5 \times 10^{-4} \]

這種方法簡(jiǎn)潔明了，廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域。

近似數(shù)與有效數(shù)字

由于測(cè)量或計(jì)算的限制，我們常常使用近似數(shù)。例如，圓周率 \[ \pi \approx 3.14 \]。

有效數(shù)字是指從左邊第一個(gè)非零數(shù)字起，到精確的數(shù)位為止的所有數(shù)字。

例如：

- \[ 0.0045 \] 有2個(gè)有效數(shù)字（4和5）

- \[ 123.0 \] 有4個(gè)有效數(shù)字（1、2、3、0）

掌握有效數(shù)字有助于我們理解數(shù)據(jù)的精確程度。

與復(fù)習(xí)建議

初一上冊(cè)數(shù)學(xué)的核心在于建立對(duì)有理數(shù)的全面理解，并掌握其運(yùn)算規(guī)則。建議同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)采取以下方法：

1. 梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)：將上述知識(shí)點(diǎn)整理成思維導(dǎo)圖，幫助記憶和理解。

2. 理解而非死記：每一個(gè)運(yùn)算法則背后都有邏輯，比如為什么“負(fù)負(fù)得正”，可以通過(guò)實(shí)際例子（如方向變化）來(lái)理解。

3. 多做基礎(chǔ)練習(xí)：運(yùn)算能力需要通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固，尤其是混合運(yùn)算和符號(hào)處理。

4. 錯(cuò)題整理：把平時(shí)做錯(cuò)的題目收集起來(lái)，分析錯(cuò)誤原因，避免重復(fù)犯錯(cuò)。

5. 模擬考試環(huán)境：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一套試卷，鍛煉答題節(jié)奏和心理素質(zhì)。

數(shù)學(xué)不是靠突擊就能掌握的學(xué)科，它需要持續(xù)的理解和練習(xí)。只要你在日常學(xué)習(xí)中保持專注，遇到問(wèn)題及時(shí)解決，期末考試自然水到渠成。希望這篇文章能為你的復(fù)習(xí)提供清晰的指引，祝你取得理想的成績(jī)！