用方程思想解決“牛吃草”問題的通用方法

"牛吃草"問題是小學數學中的一個專題，也是小升初考試中常常涉及的題型。目前小學教材中對此類問題的通用解法是用算術方法逐步分析求解。由于 變量較多，同學們常常分不清數字之間的關系而得出錯誤的結果。本人利用數學中方程思想對此類題目進行分析，并在此基礎上提出解決此類問題的通用方法。

一、問題提出

有這樣的問題，如：牧場上有一片均勻生長的牧草，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么它可供21頭牛吃幾周？這類問題統稱為"牛吃草"問題，它們的共同特點是由于每個單位時間草的數量在發生變化，從而導致時間不同，草的總量也不相同。

目前小學奧數輔導教材中對此類問題的通用解法是用算術方法求出每個單位時間草的變化量等于多少頭牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少頭牛的吃 草量，從而得出答案。這種方法在數量之間的關系換算上較麻煩，一旦題目增加難度，或與工程問題結合，轉成進水排水問題，常常使人找不到解題的正確思路。

如 果用方程思想求解此類問題，思路可以清晰，步驟也可以明確，并形成一個通用的方法。

二、方程解題方法

用方程思路解決"牛吃草"問題的步驟可以概括為三步：

1、 設定原有草的總量和單位時間草的變化量，一般設原有總量為1，單位時間變化量為X；

2、 列出表格，分別表示牛的數量、時間總量、草的總量（原有總量+一定時間內變化的量）、每頭牛單位時間吃草數量

3、 根據每頭牛單位時間吃草數量保持不變這一關系列方程求解X，從而可以求出任意時間的草的總量，也可以求出每頭牛單位時間吃草數量。從而針對題目問題設未知數為Y進行求解。

下面結合幾個例題進行分析：

例題1：一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃幾周？

解：第一步：設牧場原有草量為1，每周新長草X；

第二步：列表格如下：

第三步：根據表格第四行彼此相等列出方程：

(1-5X)/20*5 = (1-6X)/16*6                  (1)

(1-5X)/20*5 = (1-YX)/11Y                   (2)

由（1）得到X=1/30，

代入（2）得到Y=8（天）

"牛吃草"問題常常以進排水或排隊等其他的形式出現在考試中，這種問題也可通過方程思想迎刃而解。

例題3：有一水池，池底有泉水不斷涌出。要想把水池的水抽干， 10臺抽水機需抽 8時，8臺抽水機需抽12時。如果用6臺抽水機，那么需抽多少小時？

解：第一步：設水池原有水量為1，每小時泉水涌出X；

第二步：列表格如下：

第三步：根據表格第四行彼此相等列出方程：

(1+90X)/110*90 = (1+210X)/90*210            (1)

(1+90X)/110*90 = X/Y                        (2)

由（1）得到 X=1/42

代入（2）得到 Y=75（億人）

例題5：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，若同時開5個檢票口則需30分鐘，若同時開6個檢票口則需20分鐘。如果要使隊伍 10分鐘消失，那么需同時開幾個檢票口？

解：第一步：設開始檢票之前人數為1，每分鐘來人X；

第二步：列表格如下：

第三步：根據表格第四行彼此相等列出方程：

(1+30X)/5*30 = (1+20X)/6*20                  (1)

(1+30X)/5*30 = (1+10X)/10Y                   (2)

由（1）得到X=1/20，

代入（2）得到Y=9（個）

三  計算機程序算法的初探

根據以上對"牛吃草"問題的分析，我們知道由于解題格式固定，此類問題完全可以編制計算機程序輸入計算機之中，對更復雜的該類題目用計算機求解。由于我希望得到此類問題的通用解法，所以我只列出計算機程序的算法，具體可以用各類編程語言加以實現

1 判斷草均勻成長還是均勻減少；

2 定義三個變量保存已知的牛的數量A,B,C；

3 再定義兩個變量保存相應的牛吃草的天數D,E,F；

4 定義吃草函數的函數體：f(x)=1+Mx(均勻增長時候)，f(x)=1-Mx(均勻減少時候)；并將天數變量傳參；

5 根據表格算法求出對應的天數。

四、結論

通過五個例題的演示，我們可以得出解決類似"牛吃草"問題的通用解法，即首先設定單位時間的變化量及原有總量，其次通過表格形式表達出單位時間內"單位牛的吃草量"，最后列出方程求解答案。這種方法對任何該類題型都適用，而且思路清晰，步驟明確，不易出錯。