九年級上冊數學知識點歸納總結北師大版

【來源：易教網 更新時間：2026-02-18】

一、等腰三角形 　　定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。

性質：

1.等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（“三線合一”）

3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）

4.等腰三角形底邊上的垂直平分線上的點到兩條腰的距離相等。

5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半

6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高(可用等面積法證)

7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸

判定：在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）。

特殊的等腰三角形

等邊三角形

1.定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，又叫做正三角形。

（注意：若三角形三條邊都相等則說這個三角形為等邊三角形，而一般不稱這個三角形為等腰三角形）。

2.性質：⑴等邊三角形的內角都相等，且均為60度。

⑵等邊三角形每一條邊上的中線、高線和每個角的角平分線互相重合。

⑶等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線。

3、判定：⑴三邊相等的三角形是等邊三角形。

⑵三個內角都相等的三角形是等邊三角形。

⑶有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。

⑷有兩個角等于60度的三角形是等邊三角形。

二、直角三角形全等

1.直角三角形全等的判定有5種：

（1）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等；（asa）

（2）兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等；（sas）

（3）三邊對應相等的兩個三角形全等；（sss）

（4）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等；（aas）

（5）斜邊及一條直角邊對應相等的兩個三角形全等；（hl）

2.在直角三角形中，如有一個內角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

3.在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

4.垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。

性質：線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。

判定：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

5.三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等，交點為三角形的外心。

6.角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

7.在角內部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。

8.角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。

9.三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內心。

10.三角形三條中線交于一點，交點為三角形的重心。

11.三角形三條高線交于一點，交點為三角形的垂心。

三、平行四邊的定義

1.定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，

2.性質：（1）平行四邊形的對邊相等;（2）對角相等;（3）對角線互相平分。

3.判定：（1）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

（2）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

（5）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

（6）一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形。

兩個假命題：（1）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。

（2）一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

四、矩形

1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

2.性質：（1）具有平行四邊形的性質;（2）對角線相等;（3）四個角都是直角。

（4）矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸。

3、判定：（1）有三個角是直角的四邊形是矩形。

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。

五、菱形

1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2.性質：（1）具有平行四邊形的性質;（2）四條邊都相等;（3）兩條對角線互相垂直,每一條對角線平分一組對角。（4）菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

3.判定：（1）四條邊都相等的四邊形是菱形。

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

(3)一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形。

六、正方形

1.定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2.性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。

3.判定：（1）有一個內角是直角的菱形是正方形；

（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（3）對角線相等的菱形是正方形；

（4）對角線互相垂直的矩形是正方形。

七、梯形定義：

一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

八、等腰梯形

1.定義：兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2.性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。

3.同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。

九、三角形的中位線

定義：連接三角形兩邊中點的線段。

性質:平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

十、梯形的中位線

定義：連接梯形兩腰中點的線段。

性質:平行于兩底，并且等于兩底和的一半。