三角形中位線定理及其逆定理

【來源：易教網 更新時間：2025-05-07】

三角形中位線定理是幾何學中的一個重要定理，它揭示了三角形中位線與第三邊之間的關系。具體而言，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。本文將詳細探討這一定理及其逆定理，幫助讀者更好地理解和應用這些幾何知識。

三角形中位線定理

定義：三角形的中位線是指連接三角形兩邊中點的線段。根據三角形中位線定理，這條線段不僅平行于第三邊，而且長度等于第三邊的一半。

證明：

假設有一個三角形 \( \triangle ABC \)，其中 \( D \) 和 \( E \) 分別是 \( AB \) 和 \( AC \) 的中點。我們需要證明 \( DE \) 平行于 \( BC \) 且等于 \( BC \) 的一半。

1. 構造輔助線：

- 過點 \( C \) 作 \( AB \) 的平行線，交 \( DE \) 的延長線于點 \( G \)。

2. 角度關系：

- 因為 \( CG \parallel AD \)，所以 \( \angle A = \angle ACG \)。

3. 相似三角形：

- 在 \( \triangle ADE \) 和 \( \triangle CGE \) 中，我們有：

- \( \angle AED = \angle CEG \)（對頂角相等）

- \( AE = CE \)（因為 \( E \) 是 \( AC \) 的中點）

- \( \angle A = \angle ACG \)（已證）

4. 全等三角形：

- 根據角邊角（A.S.A）定理，可以得出 \( \triangle ADE \cong \triangle CGE \)。

- 因此，\( AD = CG \)（全等三角形對應邊相等）。

5. 中點性質：

- 因為 \( D \) 是 \( AB \) 的中點，所以 \( AD = BD \)。

- 由此可得 \( BD = CG \)。

6. 平行四邊形：

- 因為 \( BD \parallel CG \) 且 \( BD = CG \)，所以 \( BCGD \) 是一個平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。

- 因此，\( DG \parallel BC \) 且 \( DG = BC \)。

7. 結論：

- 因為 \( DE \) 是 \( DG \) 的一半，所以 \( DE = \frac{DG}{2} = \frac{BC}{2} \)。

- 從而證明了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

逆定理一

定義：在三角形內，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。

證明：

假設在 \( \triangle ABC \) 中，線段 \( DE \) 與 \( AB \) 和 \( AC \) 相交，且 \( DE \parallel BC \) 且 \( DE = \frac{BC}{2} \)。

我們需要證明 \( D \) 和 \( E \) 分別是 \( AB \) 和 \( AC \) 的中點。

1. 相似三角形：

- 因為 \( DE \parallel BC \)，所以 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)（兩角相等的三角形相似）。

- 因此，有 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{2} \)。

2. 中點性質：

- 由上述比例關系可知，\( AD = \frac{AB}{2} \) 且 \( AE = \frac{AC}{2} \)。

- 這意味著 \( D \) 是 \( AB \) 的中點，\( E \) 是 \( AC \) 的中點。

3. 結論：

- 因此，線段 \( DE \) 是 \( \triangle ABC \) 的中位線。

逆定理二

定義：在三角形內，經過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線。

證明：

假設在 \( \triangle ABC \) 中，線段 \( DE \) 經過 \( AB \) 的中點 \( D \)，且 \( DE \parallel BC \)。我們需要證明 \( E \) 是 \( AC \) 的中點，且 \( DE = \frac{BC}{2} \)。

1. 構造輔助線：

- 取 \( AC \) 的中點 \( E' \)，連接 \( DE' \)。

2. 中點性質：

- 因為 \( D \) 是 \( AB \) 的中點，所以 \( AD = BD \)。

- 因為 \( E' \) 是 \( AC \) 的中點，所以 \( AE' = CE' \)。

3. 中位線性質：

- 由中位線定理可知，\( DE' \) 是 \( \triangle ABC \) 的中位線。

- 因此，\( DE' \parallel BC \) 且 \( DE' = \frac{BC}{2} \)。

4. 平行線性質：

- 因為 \( DE \parallel BC \) 且 \( DE' \parallel BC \)，所以 \( DE \) 和 \( DE' \) 都平行于 \( BC \)。

5. 唯一性：

- 通過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。因此，\( DE \) 和 \( DE' \) 必須重合。

6. 結論：

- 因此，\( E \) 是 \( AC \) 的中點，且 \( DE = \frac{BC}{2} \)。

- 從而證明了逆定理二：在三角形內，經過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線。

注意事項

在三角形內部，經過一邊中點，且等于第三邊一半的線段不一定是三角形的中位線。這是因為只有當這條線段同時平行于第三邊時，才能確定它是中位線。如果這條線段不平行于第三邊，即使它等于第三邊的一半，也不能稱為中位線。

三角形中位線定理及其逆定理是幾何學中的重要知識點，它們不僅有助于解決各種幾何問題，還能加深我們對幾何圖形性質的理解。通過本文的詳細證明和解釋，相信讀者已經對這些定理有了更深入的認識。在實際應用中，這些定理可以幫助我們更高效地分析和解決復雜的幾何問題，提升數學解題能力。

希望本文能為讀者提供有益的幫助，激發大家對幾何學的興趣和熱情。